22?(1?r)d?x?(1?r)d?y?2rd?xd?y
2?(1?r)(d?x?2r2d?xd?y?d?y) 1?r所以
2?dc?1?r?22r212d??d?d??d??d?? xxyy?1?r1?r1?2r???12?2xy??d?ij???d?，所以 因为单位体积内的塑性变形功可以表示为dW??ijd??而
?ijd?ij?2?dc(?x?dW??1??d?ij??ij1??ijd?ij
2(1?2r)211?y)?x?2?dc(?y??x)?y?2?dc?xy 1?r1?r1?r2(1?2r)2?2r?22?2?dc??x??x?y??y??xy??2?dc?2
1?r1?r??因此可得
d??1?r1?2r2d?x?2r222 (3-41) d?xd?y?d?y?d?xy1?r1?r 亦即2?dc?d??，将此关系代入式（3-40），得
d?r?d???(???y)x?x?1?r??d??d??(??r?)yyx??1?r? (3-42) ????d?xy?d?????z?1?r??d?xy?d?yx?d??1?2r?xy??1?r? 简单加载时，全量应变与应变增量主轴重合且方向不变，可对上式积分，得到用全量应变表示
的应力应变关系如下
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?r????(???y)x?x?1?r??????(??r?)yyx??1?r? (3-43) ?????xy??????z?1?r???xy??yx???1?2r?xy??1?r?其中
??1?r1?2r2?x?2r222 (3-44) ?x?y??y??xy1?r1?r 如果将平面应力条件?z??yz??zx?0和面内同性条件N?F?2H?G?2H以及r?代入式（3-25）和（3-26），则有
H直接F??3(1?r)2(1?2r)22r22?x??x?y??y??xy (3-39a)
2(2?r)1?r1?rd??2(1?r)(2?r)2r2222d?x?d?xd?y?d?y?d?xy (3-41a)
3(1?2r)1?r1?r将上述条件和关系式代入式（3-28），结果与式（3-42）完全相同。
应特别指出，等效应力和等效应变增量的两种定义式是不同的，式（3-39a）和（3-41a）也不
直接等于单向拉伸时的应力和应变增量，各自相差一个关于r值某种组合的系数。但是，它们所给出的单位体积塑性变形功增量dW???d?相同，所以，最终给出的应力应变关系式相同。鉴于此，板材成形塑性理论中均采用式（3-39）至（3-44），可以直接引入单向拉伸时应力应变的关系给出
??f(?)。
利用式（3-42）和式（3-43），可以立即得到以下几点结论：
1） 单向拉伸时，如果取l、b、t分别为拉伸试件的长度方向、宽度方向和厚度方向，则有?x??l，
?y??xy?0，?x??l，?y??b，?z??t，?xy?0。由式（3-43）可知，r?r恰为试件宽向与厚向应变之比，这是厚向异性应力应变关系决定的。
d??x??y 2）复杂应力状态时，由式（3-42）可知，因为d?z???，所以，r值愈大，则d?z?1?r愈小，即厚度方向的变形愈小。
3）复杂应力状态时，由上式可知，如果??max?x,?y?0，则d?z?0；如果
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?b，即厚向异性系数?t????max?x,?y?0，则d?z?0。即如果面内绝对值大的正应力为拉应力，则板坯减薄；如果面
内绝对值大的正应力为压应力，则板坯增厚。 3.6 塑性变形的基本方程
1.几何方程
小变形几何方程描述了变形场内质点的位移与质点间线素的变化之间的关系。
???ij?2.平衡方程
1?ui,j?uj,i? （i=1,2,3） 2其中 fi为微元体所受的体力分量。
?ij,j?fi?0 （i=1,2,3）
3.能量方程
凡是物体几何约束所允许的位移就成为可能位移，取其任意微小的变化量就是虚位移?ui，也就是几何上可能位移的变分，根据能量守恒定律，外力在虚位移上所做的功（虚功）必等于物体内部应力在虚应变上所做的功，这就是虚功原理。
?4.屈服函数
Vfi?uidV??pi?uidS???ij??ijdV
s?Vf(?ij)?c
5.一般塑性本构关系
D.Drucker从加工硬化材料加载时必须完成正功（d?ijd?ij?0）的前提出发，假定应力增量与应变增量成比例，得出了加工硬化材料与屈服准则（加载函数）相关联的一般性流动规律
d?ij?dc??f(?ij)??ij
3.7 板材失稳理论
拉断和起皱是板料成形的两个缺陷，分别称为拉伸失稳和压缩失稳。
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3.7.1 单向拉伸失稳理论 3.7.1.1 载荷失稳
设一理想均匀板条，其原始长度为l0、原始宽度为w0、原始厚度为t0，在拉力P作用下产生塑性变形，变形后板条的尺寸为l,w,t。设材料面内同性，厚向异性，厚向异性系数为R，从试件的承载能力看，当P＝Pmax后，材料已经作出了最大的贡献，外载荷不可能再有所增加，通常把这种现象称为载荷失稳，如图3-10所示，此时有
?l?dP?d(A0K?ln??l0?其中，A0?w0t0,A?wt,??ln载荷失稳条件如下
Al?ln0。 l0An?l???0?)?0 (3-45) ?l?d??? （3-46) d?载荷失稳时的应变
?1＝n (3-47)
理想试样
PPPmax
实际试样
l0
图3-10 单向拉伸曲线
l
3.7.1.2 变形失稳
加载失稳以前，理想均匀板条和实际板条的变形行为基本一致。但从板条形状变化的角度看，理想均匀板条遵循宏观塑性力学的规律，理应保持均匀变形：沿着板条，轴向伸长与剖面收缩完全一致。而实际板条则不能保持均匀伸长，呈现颈缩，变形局限在颈缩区内发展，曲线段较短。从变形的角度看这也是一种失稳现象。
（1）分散性失稳Diffuse necking 加载失稳以后，颈缩在板条的较大一个区间内扩展，称为分散性失稳。根据试验观察，板条单向拉伸时，外载荷的加载失稳点和变形的分散性失稳点基本上同时发生。所以，单向拉伸的分散性失稳条件也是式(3-46)，或写成下式（Swift 失稳理论）
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式(3-48)的涵义可解释如下：因为d???失稳又可称为宽向失稳。
d???d? (3-48)
dA，所以材料的强化率恰好等于断面的减缩率。故分散性A （2）集中性失稳Localized necking 分散性失稳的颈缩扩散发展到一定程度以后，变形集中在某一狭窄条带内（与板厚为同一数量级），发展成为沟槽，称为集中性失稳。集中性失稳开始以后，沟槽加深，外载急剧下降，板条最后分离为二。集中性失稳产生的条件是：材料的强化率与其厚度的减缩率恰好相等。这就是R. Hill 的集中性失稳理论 故集中性失稳也可称为厚向失稳。 因为d?t?dt1??d?1，所以可求得单向拉伸集中颈缩开始发生时的应变为 t1?Rd???dt??d?t (3-49) t??1??1?R??n (3-50)
(3)集中颈缩的方位 分散性失稳发展到一定阶段，实际板条的最薄弱环节开始集中在某一狭窄条带内，发展成为沟槽。沟槽的发生、发展主要是依靠板料的局部变薄，而沿沟槽没有长度的变化，即d?y?0，如图3-11所示，所以有
d?1cos2??d?2sin2??0
单向拉伸时，因为R?d?2d?R，d?1?d?2?d?3?0，所以有2??，故此可得 d?3d?11?R?＝tan?11
1?R (3-51) R?y2
图3-11 集中颈缩示意图
对于各向同性材料，R?1，??54044?。材料的单向拉伸试验已证实了该结论。
单向拉伸失稳理论是讨论板材在双向受力而以拉为主的变形方式下变形失稳问题的基础。但是
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