冲压变形基础理论(3)

Y??s?B2?，无硬化曲线Y??s等。

3.5 应力应变关系

3.5.1 塑性应力应变关系与屈服准则的相关性

一般应力状态下塑性变形的发生、发展，可以理解为一系列弹性极限状态——初始屈服曲面与继续屈服曲面（加载或强化曲面）的连续突破。所以，塑性应力应变关系与屈服准则之间必然直接相关。例如，Levy-Mises方程，实际上就包含了Mises屈服准则，是与Mises准则相关联的流动规律。

D.Drucker从加工硬化材料加载时必须完成正功（d?ijd?ij?0）的前提出发，假定应力增量与应变增量成比例，用严密的数学推导，得出了加工硬化材料与屈服准则（加载函数）相关联的一般性流动规律

d?ij?dc?式中 d?ij－塑性应变增量；

?f(?ij)??ij (3-17)

f(?ij)—加载函数（屈服准则）；

dc—与应力、应变、变形历史有关的常数因子，由试验确定。

式（3-17）的几何意义是明显的。

?f(?ij)??ij为加载曲面f(?ij)法向的方向数。d?ij与

?f(?ij)??ij成

比例，表示应变增量与法向一致或者说与加载曲面垂直。

利用式（3-18），可以推得与不同屈服准则相关联的流动规则。为简单起见，下面在主轴坐标下进行讨论。

3.5.2 各向同性流动理论

假定材料服从Mises准则

1f(?ij)?[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]2 (3-18)

则有

?f? ?2?1?(?2??3)?3?1?(?1??2??3)?3[?1??m]?3?1??1 10

同理

?f? ?3?2??2?f? ?3?3??3代入式（3-17）可得

??d?1?3dc??1?? (3-19) ?d?2?3dc??2?d??3dc???3?3? 或 d?ij?3dc??ij不难证明

3dc?d??结果即为Levy-Mises方程。 如果材料服从Tresca准则

3d? 2?f(?ij)??1??3

十分明显

?f?f?f?1，?0，??1 ??1??2??3代入式（3-17）可得

d?1?dc，d?2?0，d?3??dc (3-20) 以上结果表明：与Tresca相关联得流动规律（或塑性应力应变关系），其形式完全不同于与Mises准则相关联的形式。这就意味着每一种屈服准则都有一个与之相适应的流动规律。这一点往往被人们所忽略。在分析计算一些具体问题时，常常将Tresca准则与Levy-Mises流动规律同时应用，这种做法虽然所得结果是可以接受的，但是却没有理论上的根据。

由于Tresca准则的线性性质，与之相关联的流动规律形式简单，使用方便，但在屈服曲面的棱角处，塑性应变增量的确定比较复杂，需视具体问题的约束条件而定。 3.5.3 各向异性流动理论

设各向异性体的各向异性主轴为x、y、z。在同一坐标系中，其应力状态为

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??x? ?ij???yx??zx?其应变增量为

?xy?xz???y?yz?，其中 ?ij??ji (3-21) ?zy?z???d?x? d?ij??d?yx?d?zx?d?xyd?yd?zyd?xz??d?yz?， 其中 d?ij?d?ji (3-22) d?z??且应变增量d?ij与位移增量dui之间满足如下几何方程

d?ij?1??(duj)?(dui)???? (3-23)

2??x?xij??? 如果材料服从R.Hill的各向异性屈服准则式（3-14），则有

1f(?ij)?[F(?y??z)2?G(?z??x)2?H(?x??y)2?

2222?2L?yz?2M?zx?2N?xy]

??f?H(?x??y)?G(?x??z),????x???f?F(?y??z)?H(?y??x),????y??f??G(?z??x)?F(?z??y),????z代入式（3-17）得

?f?f??L?yz??yz??zy?f?f??M?zx ??zx??xz?f?f??N?xy??xy??yx?d??dc[H(???)?G(???)],d??d??dcL?xyxzyzzyyz?x?? ?d?y?dc[F(?y??z)?H(?y??x)],d?zx?d?xz?dcM?zx (3-24)

??d??dc[G(???)?F(???)],d??d??dcN?zzxzyxyyxxy??注意，d?x?d?y?d?z?0是一个恒等式（体积不变条件），并且如果应力反向的话，应变增量也就反向，另外，如果应力主轴和各向异性主轴重合，那么应变增量主轴也和各向异性主轴重合，否则，应力和应变增量主轴一般来说是不重合的。

要想用实验来确定各向异性的状态，那就要求在足够大的体积内，各向异性的分布是均匀的，

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使能在其中的任意方向上切取拉伸试件。于是，如果有一单向拉应力X作用在沿平行与各向异性x主轴所切取的一个长条或圆柱试件上时，其应变增量的比例是

d?x:d?y:d?z?G?H:?H:?G

可见，在每一横断面方向上的应变是收缩的，除非屈服应力的差是如此之大，以致于G或H有一个是负的。如果H?G，也即如果Z?Y，则在y方向的收缩是较大的；因此，在屈服应力较大的方向上应变较小。同样，在y和z方向上的拉伸试验给出比值F/H和G/F。在理论可以应用的情形下，在沿着x和y方向切取的拉伸试件上量度应变比值，并借助于方程（3-15）这就是一个决定三个拉伸屈服应力比值的间接方法；如果屈服现象不够鲜明确切，这样做要比直接方法更好。对于薄板材料，这样来决定厚度方向上的屈服应力特别方便。

为了确定式（3-24）中的比例系数dc值，必须设法将它与单向拉伸应力应变曲线联系起来。与各向同性塑性理论的处理方法相仿，对于一般应力状态下的各向异性材料也要定义一个与单向拉伸等效的等效应力和等效应变。

等效应力的定义方法如下：

一方面，等效应力是一个决定材料塑性流动是否发生的量，所以可以假定加载函数f(?ij)与等效应力?之间有以下关系

f(?ij)?p?q

式中p、q均为常数，用以下方法确定。

从另一方面看，等效应力又可作为一个可比指标，将一般应力状态等效地简化为单向拉伸中的应力。单向拉伸时，设x轴为拉伸方向，则?x?X，?y??z??xy??yz??zx?0，这时，

???x?X，则因f(?ij)?p?q可得

1(G?H)X2?pXq 2显然有

1p?(G?H)，q?2

2 同理，取?y?Y，?x??z??xy??yz??zx?0，这时，???y?Y，可得

1p?(F?H)，q?2

2

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取?z?Z，?x??y??xy??yz??zx?0，这时，???y?Y，可得

1p?(F?G)，q?2

2可得

1p?(F?G?H)，q?2

3所以，等效应力为

?????f(?ijp1)?2? ?2222yz ?3?F(?y??z)?G(?z??x)?H(?x??y)?2L??2?F?G?H??2M?2zx?2N?2xy1?2? (3-25) ??定义等效应变增量d?，可从单位体积的塑性功dW出发。一方面塑性功dW为

dW???d?

另一方面塑性功dW又可表示为

?d?ij dW??ij所以，等效应变增量d?为

d??可以证明

??ij?d?ij?dc??ij???f ??ij??ij?f222?F(?y??z)2?G(?z??x)2?H(?x??y)2?2L?yz?2M?zx?2N?xy ??ij ?所以

2(F?G?H)?2 3d??dc??ij???f2?(F?G?H)??dc ??ij3其中dc可由式（3-24）按如下方法推得。将式（3-24）的前三式作如下处理

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