冲压变形基础理论

《冲压生产技术丛书》

第一分册 冲压生产技术基础

第3章 冲压变形基础理论（冲压变形与冲压工艺的基础理论）

目 录

3.1概述 ................................................................................................................................... 1 3.2 应力应变基本概念 ........................................................................................................... 2

3.2.1 点的应力状态 .................................................................................................... 2 3.2.2 点应变状态 ........................................................................................................ 3 3.3 屈服准则 ........................................................................................................................ 4

3.3.1 各向同性屈服准则 ............................................................................................ 4 3.3.2 各向异性屈服准则 ............................................................................................ 7 3.4 材料模型简介................................................................................................................. 8 3.5 应力应变关系............................................................................................................... 10

3.5.1 塑性应力应变关系与屈服准则的相关性 ....................................................... 10 3.5.2 各向同性流动理论 .......................................................................................... 10 3.5.3 各向异性流动理论 .......................................................................................... 11 3.5.4 面内同性厚向异性薄板的平面应力问题 ....................................................... 16 3.6 塑性变形的基本方程 ................................................................................................... 22 3.7 板材失稳理论............................................................................................................... 22

3.7.1 单向拉伸失稳理论 .......................................................................................... 23

3.7.1.1 载荷失稳 .............................................................................................. 23 3.7.1.2 变形失稳 .............................................................................................. 23 3.7.2 双向拉伸失稳理论 .......................................................................................... 25

3.7.2.1 基本方程 .............................................................................................. 25 3.7.2.2 平板双拉的载荷失稳 .......................................................................... 26 3.7.2.3 平板双拉的集中性失稳 ...................................................................... 27 3.7.3 理论成形极限图 .............................................................................................. 28 3.8 轴对称薄板自由胀形解析 ........................................................................................... 30

3.8.1 轴对称薄板自由胀形的几何和力学特点 ....................................................... 30 3.8.2 轴对称薄板自由胀形解析的理论基础 ........................................................... 31 3.8.3 主应力之比与胀形轮廓之间的关系 ............................................................... 33 3.8.4 薄板自由胀形的力学解析............................................................................... 35 3.9 圆锥形件拉深过程的能量法解析 ............................................................................... 40

3.9.1 轴对称曲面件拉深过程的力学模型 ............................................................... 40 3.9.2 接触摩擦的简化处理 ...................................................................................... 42 3.9.3 拉深力－行程曲线的能量法解析 ................................................................... 43 3.10 板材拉深起皱失稳 ..................................................................................................... 47

3.10.1 法兰起皱失稳 ................................................................................................ 47 3.10.2 圆锥形件拉深的侧壁起皱失稳 ..................................................................... 63

3.1概述

塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料发生塑性变形，制备具有一定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法，外力是塑性加工的外因。

在塑性理论中，分析问题需要从静力学、几何学和物理学的角度来考虑问题。静力学角度是从变形体中质点的应力分析出发，根据静力平衡条件到处应力平衡微分方程。几何学角度是根据变形体的连续性和均匀性假设，用几何的方法导出小变形几何方程。物理学角度是根据实验和基本假设导出变形体的应力应变的关系式，即本构方程。还要建立变形体由弹性进入塑性的力学条件，即屈服准则。

在研究板材成形时，不可能用各向同性塑性理论加以描述。关于每个物质单元体保持各向同性的假定只是一种近似，随着变形的发展这种近似要变得不好了。各个晶粒在最大拉应变的方向上要伸长，因而试件的组织呈纤维状。于是，滑移过程的后果就使单晶体在变形时发生转动，使它们趋向于一定的方位，这个方位表征着特定的应变路径。例如，当六角形的单晶体受拉力而伸长时，底平面逐渐转向平行于加载方向的位置。同样，多晶体的颗粒有一种转向某一极限方位的趋势（由于晶粒间的相互相束，不一定等同于单晶体的方位）；因此，在两块有润滑的平板间受挤压的面心立方金属中，其面对角线将趋向与压缩方向平行。通过这样的机构，开始时由于随机的晶粒方位而显示各向同性的金属，在塑性变形过程中变成各向异性。因此，各晶粒间方位的分布(例如，可按百分比作为量度的基础)，有一个或几个最大值。如果这样的一个最大值是很明确的，我们常称之为择优方位。如果单个晶体的方位不是随机分布，那末，屈服应力和宏观应力应变关系将随着方向而改变。例如，经过强烈冷轧过的黄铜，正交于轧制方向的拉伸屈服应力要比平行于轧制方向者大10％。在经过一些精密的机械和热处理工序，使得多晶体最终产生一种接近于单晶体的再结晶结构（例如，可以通过辊轧铜片，使立方轴为平行于铜片边缘的品粒，占据不同的份量），从而得到更大的变化。

随着有限元数值分析技术的不断进步以及计算机内存和速度的不断提高，用数值模拟的方法求解复杂的塑性成形问题已经成为可能。一些商业软件（如ANSYS等）已将经典的R. Hill各向异性塑性理论纳入其求解器之中，为研究各向异性性质对板材成形过程的影响，获得更精确的板材成形模拟结果提供了有效的手段。因此，了解、掌握各向异性塑性理论又显现出了重要的实际应用价值；发展、完善各向异性塑性理论又显现出了重要的理论意义。

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3.2 应力应变基本概念 3.2.1 点的应力状态

1.应力状态的表达方式

在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作用的力，叫做应力。通过一点的微分面，有无限多个，在不同微分面的法线方向应力不同，为了确定一点的应力状态，需要任意三个相互垂直的微分面的应力表示一点的应力状态。三个微分面的应力需要九个分量去描述，根据切应力互等定理，点的应力状态需要六个独立的分量去描述。这样一点的应力状态的九个分量构成了张量，张量存在不变量，张量含有三个主方向和三个主值。为了研究一点的P处的应力状态，需要三个相互垂直的微分面，用三个微分面上的应力表示点P的应力状态，这一点P的应力状态如图3-1所示。

图3-1 三个微分面上的应力分布

2.主应力

如果表示一点的应力状态的九个应力分量已知，则过该点的斜微分面上的正应力?和切应力?都将随外法线的方向余弦l、m、n的变化而变化，任意斜切微分面的应力如图3-2所示。

图3-2 任意斜切微分面的应力

当l、m、n在某一组合情况下，斜微分面上的全应力S和正应力?重合，而切应力??0。这种切应力为零的微分面称为主平面、主平面上的正应力叫做主应力。主平面的法线方向，也就是主应力方向，叫做应力主方向或应力主轴。

3.主剪应力

与分析斜微分面上的正应力一样，切应力也随斜微分面的方位变化而改变。切应力达到极值的平面称为主切应力平面，其面上作用的切应力称为主切应力。在主轴坐标系下，主切应力平面如图3-3所示。

2

(a) (b) (c)

图3-3 主切应力平面

4.应力强度

取八面体切应力绝对值的3倍所得之参量称为等效应力，即应力强度。 2??1222(?x??y)2?(?z??y)2?(?x??z)2?6(?xy??yz??zx) （3-1） 25.应力张量变换关系

在一定的外力条件下，受力物体内任意点的应力状态已被确定，如果取不同的坐标系，则表示该点的应力状态的九个应力分量将有不同的数值，而该点的应力状态并没有变化。因此，在不同的坐标系中的应力分量之间应该存在下式的关系。

?kr??ijlkilrj （i,j?1,2,3；k,r?1,2,3） （3-2） 因此，表示点应力状态的九个应力分量构成一个二阶张量。 3.2.2 点应变状态

1.微元的应变状态

为了描述一点的应变状态，在空间选取三个相互垂直的线素，线素的伸长或缩短表示正应变，线素间夹角的变化表示切应变，根据质点三个相互垂直线素方向上的九个应变分量，可以确定过该点应任意方向的应变分量，这点的应变状态就确定了，其详细确定方法与一点的应力状态相同。

2.主应变

过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向，该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。

3.主剪应变

与主应变方向成45度的方向上存在三对各自相互垂直的线元，它们的切应变有极值，称之为主切应变。

4.等效应变

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取八面体切应变绝对值的2倍所得之参量称为等效应变，即应变强度。

??2222(?x??y)2?(?z??y)2?(?x??z)2?6(?xy??yz??zx) （3-3） 35.应变张量形式简介

一点的应变状态可以用过该点三个相互正交方向上的九个应变分量来表示。如果当坐标轴旋转后在新坐标系下的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合数学上张量的定义，即下面的线性关系

?kr??ijlkilrj（i，j=1,2,3；k，r=1,2,3） （3-4）

所以一点的应变状态是张量，且为二阶张量。 3.3 屈服准则

3.3.1 各向同性屈服准则

屈服准则是有关金属弹性极限状态的一种假说。金属由弹性变形转变为塑性变形，主要取决于以下两方面的因素。

1）在一定的变形条件（变形温度与变形速度）下金属的物理机械性质； 2）金属所处的应力状态。

第一种因素是转变的根据，第二种因素是转变的条件。对于一定的材料，在一定的变形温度与变形速度下，屈服完全取决于金属所处的应力状态，当应力分量的组合满足某一函数关系 f(?ij)?c （3-5） 时，应力状态所构成的外部条件，与金属屈服时的内在因素恰好相符，金属即从弹性变形转变为塑性变形。方程（3-6）称为屈服条件或屈服准则，而其所代表的空间曲面为屈服表面。

上述规律的探索，除了从金属的微观世界寻求物理上的根据外，主要依靠实验和在实验基础上的逻辑推断，因而产生了有关屈服准则的各种假说，然而经过实践考验，获得公认的只有两种，即H.Tresca准则——最大剪应力理论和R.Mises准则——常数形变能量理论。

1.Tresca准则——最大剪应力理论

1864年，Tresca在金属的挤压试验中，观察到金属塑性流动的痕迹与最大剪应力的方向一致，提出了最大剪应力理论。1870年Saint-Venant将此理论作了进一步发展，提出了这一理论的数学表达方法。

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