小学六年级数学培优专题训练(5)

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五、星级挑战

?1．如图，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？

??2．有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？

第9讲 组合图形面积（2）

一、夯实基础

不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。

计算圆的周长与面积的主要公式有：

（1）圆的周长=π×直径=2π×半径，即：C=πd=2πr (2)中心角为n的弧的长度=n×π×(半径)÷180，即：l=（3）圆的面积=π×(半径) 2，即：S=πr2

°

°

n?r 180

2

1n?r2(4)中心角为n的扇形的面积==n×π×(半径)÷360，即：S== l=lr

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二、典型例题

例1．如下图（1），在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径

向内作三个半圆，求阴影部分的面积。

分析（一）：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

分析（二）：将上半个―弧边三角形‖从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。阴影部分的面积是正方形面积的一半。

分析（三）：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。阴影部分的面积是正方形的一半。 解：4×4÷2=16（平方厘米）

例2．如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

分析：阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。

解：S阴影=S扇形ACB＋S扇形ACD－S正方形ABCD

(1)(2)(3)(4)?×AB2×2－AB2 4?2

=×4×2－42

43.14?2≈16×=9.12（平方厘米）。

2 =

A B D C

例3．如下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。 分析： 阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（Ⅰ）的面积之差。而图中（Ⅰ）的面积等于边长为6的

1正方形面积减去的以6为半径的圆的面积。

4解：S阴影=S三角形ACD－（S正方形BCDE－S扇形EBD）

=

GEFD11?(10?6)?6?(6?6????62) 24(I)A10B6C =40.26（平方厘米）。

三、熟能生巧

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1．如下图，圆的直径为8cm，求阴影部分的面积。

2．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积。

3．如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。

A(1)(2)BC四、拓展演练

1．如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？

2．如下图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。

3．如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1，和为24厘米。图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？

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五、星级挑战

?1．如下图，将直径AB为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3.14）。

??2．求图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）

第10讲 长方体的表面积和体积

一、夯实基础

长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相等的六个正方形。

长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6

物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容积，当厚度忽略不计时，容积就等于体积。

长方体体积=长×宽×高 正方体体积=棱长×棱长×棱长

二、典型例题

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例1．一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。

分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图，结合空间相像，可知做成的长方体铁盒的长是24－3×2=18（厘米），高就是剪下的小正方形的边长，也就是3厘米。又知铁盒的容积是486厘米，这样就可以算出铁盒的宽。铁盒宽并不是原来长方形铁皮的宽，再加上3×2=6（厘米）才是原铁皮的宽。

解：长方体铁盒的长：24－3×2=18（厘米） 长方体铁盒的宽：486÷3÷18=9（厘米） 长方形铁皮的宽：9＋3×2=15（厘米） 长方形铁皮的面积：24×15=360（平方厘米） 答：原长方形铁皮的面积是360平方厘米。

例2．如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，

第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。 分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm，剩余部分的长度等于长方体长与宽和的2倍。 解：长＋宽＝（515－5）÷2＝255（cm）

长＋高＝（445－5）÷2＝220（cm）

宽＋高＝（235－5）÷2＝115（cm） 长＋宽＋高＝（255＋220＋115）÷2＝295（cm） 长：295－115＝180（cm） 宽：295－220＝75（cm） 高：295－255＝40（cm） 礼盒体积：180×75×40=540000（cm3）=540（dm3） 答：这个礼盒的体积是540立方分米。

例3．如图（1），一个密封的长方体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）

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