离散型随机变量的研究(5)

几个常用离散分布的应用讨论

实际上，这个结果也可以从母函数H(s)?G?g(s)??这时的Z?Ge(p1p2).

p1p2s得到验证，因

1?(1?p1p2)s6 几个常用离散分布的应用讨论

6.1 关于泊松分布及其应用

作为一种常见的离散型随机变量的分布, 泊松分布日益显示其重要性, 成为概率论中最重要的几个分布之一.服从泊松分布的随机变量是常见的.

泊松分布产生的一般条件：在自然界和人们的现实生活中, 经常要遇到在随刻出现的某种事件, 我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列, 叫做随机事件流

[8]

，若事件流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该事件流为泊松事件流(泊松流). 例如一放射性源放射出的??子数;某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场

降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; 等这些事件都可以看作泊松流.

泊松分布的数学期望与方差： 泊松分布其概率分布列为

λk?λP?X?k??e,k?0,1,2,k!

其中参数λ?0，记为X~P?λ?.

由泊松分布知E??N?t??N?t0????D??N?t??N?t0????λ?t?t0?

特别地, 令t0?0, 由于假设N?0??0, 故可推知泊松过程的均值函数和方差分别为

E??N?t????λt,D??N?t????λt

泊松过程的强度λ(常数)等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值. 即对泊松分布有: E?X??D?X??λ

泊松分布的特征：

⑴ 泊松分布是描述和分析稀有事件的概率分布.要观察到这类事件，样本含量n必须很大.

⑵ 是泊松分布所依赖的唯一参数.值愈小，分布愈偏倚，随着的增大，分布趋于对称.

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离散型随机变量的研究

⑶ 当λ?20时，泊松分布接近于正态分布；当λ?50时，可以认为泊松分布呈正态分布.在实际工作中，当λ?20时，就可以用正态分布来近视地处理泊松分布的问题.

泊松分布的应用研究：

在生物学研究中，服从泊松分布的随机变量时常见的.如每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数，单位空间中某些野生动物或昆虫数等.都是服从泊松分布的.

[例] 为监测饮用水的污染情况，现检验某社区每毫升饮用水中细菌数，共得400个记录如表1.

表 1 某社区每毫升饮用水中细菌数

1ml水中细菌数 次数f 0 243 1 120 2 31 3 6 合计 400 试分析引用水中细菌数的分布是否服从泊松分布.若服从，按泊松分布计算：细

ml（水）的概率及理论次数，并将频率分布与泊松分布直观比较. 菌数∕经计算得每毫升水中平均细菌数x?0.500，方差s2?0.496.两者很接近，故可认

ml（水）服从泊松分布.以x?0.500代入公式中的得 为细菌数∕0.5k?0.5P?x?k??e?k?0,1,2k!?

计算结果如表2.

表 2 细菌数的泊松分布

1ml水中细菌数 次数f 频率 概率 理论次数 0 243 0.6075 0.6065 242.60 1 120 2 31 3 6 合计 400 1.00 1.00 400 0.3000 0.0775 0.0150 0.3033 0.0758 0.0144 121.32 30.32 5.76 可见细菌数的频率分布与λ?0.5的泊松分布是相当吻合的，进一步说明泊松分布描述单位容积（或面积）中细菌数的分布是适宜.

泊松分布理论及其应用的研究，对于试验成功概率很小而试验次数很多的随机过程，都可以很自然的应用于泊松分布的理论.在泊松分布中的概率表达式只含一个参数λ，减少了对参数的确定与修改工作量，模型构建比较简单，具有很重要的实际意

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几个常用离散分布的应用讨论

义.

6.2 关于二项分布及其应用

在本文4.2中我们了解到二项分布与泊松分布、正太分布及超几何分布之间的关系，足见二项分布的重要性.因次研究二项分布的性质及其应用时非常有必要的.

如果记X为n重伯努利试验中成功(记为事件A)的次数，则X的可能取值为

0,1,2，，n.记p为每次试验中A发生的概率,即P?A??p,则P?A??1?p.

其X分布列为

?n?n?kP?X?k????pk?1?p?,k?0,1,?k?这个分布称为二项分布[9],记为X~b?n,p?. 二项分布的期望与方差 设随机变量X~b?n,p?，则

,n

?n?kn?kE?X???k??p?1?p??npk?0?k?

nD?X??np?1?p?

特别地，当n?1时的二项分布b?1,p?又称为二点分布. 二项分布的应用条件

⑴ 各观察单位的观察结果只能是相互对立的两种结果之一； ⑵ 某时间出现的概率不变；

⑶ n次试验条件相同，n个观察对象同质，且相互之间不影响（例如，无传染性、聚集性等）.

二项分布的应用

通常在产品抽样验收合格与不合格产品的数量，某地区人群中患色盲的人数等都服从二项分布.

产品质量管理中，设p为废品率，对此产品质量进行抽样检查，若n件样品中最多有c件废品才算合格，否则认为不合格,称此方法为(n,c)方案，称下式为操作特征曲线，简称oc曲线

[10]

k:L?p???knp?1?p?k?0cn?k

L?p?关于p单调递减，给定α,β和p0,p1,由下式即可对产品质量进行检验:

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离散型随机变量的研究

??L?p??1?α,p?p0,???L?p??β,p?p1,

[例] 自一工厂的产品中进行重复抽样检查，共取200件样品，检查结果发现其中有4件废品，问能否相信此工厂出废品的概率不超过0.005？

解 由题意知n?200,c?4,p0?0.005,p1?4200?0.02,则

L?p0???k200p0k?1?p0?k?044200?k?0.6145

?0.5748L?p1???k200p1k?1?p1?k?0200?k

令α?β?0.05，则L?p0??0.61451???0.95，L?p1??0.5748??0.05 故在0.95的置信水平下，拒绝不超过0.005的废品率，接收0.02的废品率.

参考文献

[1] 复旦大学.概率论(第一册 概率论基础)［M］.北京：人民教育出版社，1979：75～157 [2] 杨振明.概率论［M］．第二版.北京：科学出版社，2004：49～108

[3] 匡能晖.超几何分布的数学期望和方差的定义求法[J].高等数学研究, 2010，13（4）：73~74 [4] 陶会强．常用概率分布之间的关系及应用研究[J]．怀化学院学报，2011，30 ( 5) ：75~ 78 [5] 范振耀，孙翠先，边静．常见概率分布之间的关系[J]．唐山学院学报，2010，23（03）：7~8 [6] 侯文．常用概率分布间的关系[J]．辽宁师范大学学报（自然科学版），2005，28（04）：503~505 [7] Sheldon.M.Ross.概率论基础教程［M］．第七版.郑忠国，詹从赞 译．北京：人民邮电出版

社，2007：102～249

[8] 威廉．费勒．概率论及其应用［M］．第三版．胡迪鹤 译．北京：人民邮电出版社，2006：

21~147

[9] 苏淳．概率论［M］．北京：科学出版社，2004：90~179

[10] 庄光明，于兴江 等．基于佰努利试验的概率分布及其应用[J]．聊城大学学报（自然科学

版），2009，22（03）：34~37

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致谢

致谢

本论文是在赵天玉老师的指导下完成的，在完成过程中还得到了许多其他人的帮助和支持，值此论文完成之际，我由衷地感激所有给予我指导、关心、帮助和支持的老师、同学、朋友们．

感谢信计学院的授课老师和与我一起学习的同学，没有他们的谆谆教诲和热心帮助，我不可能顺利地完成本次毕业论文设计．

最后，我还要感谢在百忙之中参加我的论文答辩的各位老师！

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