离散型随机变量的研究(3)

离散型随机变量的数字特征

上述级数至少在s?1是收敛的，当随机变量X的数学期望存在时，即

??d?E?X???kpk存在时，显然有?Gx?s????kpk?E?X?.

?ds?s?1k?1k?1?4 利用母函数求方差

母函数GX?s?对s求二阶导数，有

??d2?d2Gs?kk?1p?Gs??????因此X的方差为：?Xkx??22dxk?1?dx?s?1??d?d2??d???2?D?X??E?X?EX?Gs?Gs?Gs???????????? Xx??ds2X????????dsds?s?1???s?1???s?1?22

现在举出几个母函数求期望与方差的例子

① 计算二项分布随机变量的母函数、数学期望和方差

kkn?k解：若随机变量服从二项分布，则有pk?P?X?k??Cnpq?k?0,1,2,n?

因此其母函数为

Gx?s???Pkskk?0n?

nkn?kkGx?s???Cks??q?ps?其一、二阶导数为npqk?0dd2n?1n?2Gx?s??n?q?ps?p2Gx?s??n?n?1??q?ps?p2 dsdsX的数学期望为

E?X??dn?1Gx?s?|s?1?n?q?p?p?npds

d2n?222Gs|?nn?1q?pp?nn?1p????????xs?1ds2

X的方差为

d2d?d?D?X??[2Gx?s?]s?1?[Gx?s?]s?1??[Gx?s?]s?1?dsds?ds?

?n?n?1?p2?np??np??npq22

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离散型随机变量的研究

② 计算泊松分布随机变量的母函数、数学期望和方差 解：若随机变量X服从泊松分布，则

λk?λpk?P?X?k??e因此其母函数为

k!λs??λ?λ?λkλs?1GX?S???es??e?e?λeλs?e??

k!k?0k!k?0?k?k2dλ?s?1?dGx?s??λeGx?s??λ2eλ?s?1?2dsds

X的数学期望为

E?X??dλ?s?1?Gx?s?|s?1??eλ???s?1?λds

d22λ?s?1????λ2Gs|?λe??xs?12??s?1ds

X的方差为

?d2?d?d?D?X???2Gx?s?]s?1??Gx?s?]s?1??[Gx?s?]s?1??ds? ?ds?ds?λ2?λ?λ2?λ

2综上所言为离散型随机变量的母函数的一些性质及用来解决问题的方法.

4 常见离散型随机变量的概率及其分布关系

4.1 常用离散型随机变量

常用离散型随机变量大致有七种：

（1） 0-1分布或两点分布：X~b(1,p)，两点分布也成为伯努利分布，是超几何分布的特殊情况，当伯努利试验成功，令伯努利随机变量为1，若伯努利试验失败，令伯努利随机变量为0；

（2）二项分布：X~b(n,p)，二项分布即重复的n次独立的伯努利试验，在每次试验中只有两种可能的结果，且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生于否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列才、试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布；

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常见离散型随机变量的概率及其分布关系

（3）几何分布：X~Ge(p)，在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率，详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率；

（4）巴斯卡分布或负二项分布：X~Nb(r,p)，满足其分布要有以下条件：实验包含一系列独立的实验，每个实验都有成功、失败两种结果，成功的概率是恒定的，实验持续到r次成功，r为正整数；

（5） 泊松分布： X~?(?)，泊松分布中只有一个参数，它是泊松分布的均值，也

是泊松分布的方差，关于泊松分布，接下会有详细的讨论；

（6）超几何分布：X~h(n,M,N)，它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数；

（7）多项分布，是二项式分布的推广.

它们的关系图如下

图 1 基于贝努利试验的结构图

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离散型随机变量的研究

这些随机变量的最大特点是它们的取值是非负整数，因此引入母函数便于处理．因为母函数是幂级数，具有许多良好的性质，所以母函数是研究取非负整数值随机变量的有效工具.

4.2 常用离散型随机变量的关系

它们具有以下关系： 1 极限关系

(1)设Xn?b(n,p)，当n较大时, 由棣莫佛-拉普拉斯定理, 二项分布可用正态分布逼近, 即Xn?npnpq近似服从标准正态分布N(0,1)；

(2) 当n较大、p较小, 且np不大时, 二项分布可用泊松分布逼近, 即

b(k;n,p)??kk!e??，其中??np；

(3) 当N很大而n较小时, 超几何分布可用二项分布近似，即

h(k)?b(k;n,p), 其中p?M． N2 随机变量之和的关系 (1) 设X1,X2,,Xn独立同分布于0-1分布, 则X??Xi?b(n,p)；

i?1n实际上，由于X1,X2,,Xn独立同分布于0-1分布，Xi的母函数为(q?ps)，

n由母函数的性质（2），X??Xi的母函数为G(s)?(q?ps)n．与二项分布

i?1的母函数相同，故X?b(n,p)． (2) 设X1,X2,,Xr独立同分布于几何分布, 则X??Xi?Nb(r,p)；

i?1rr?ps?证明与（1）类似．这时X的母函数为G(s)???．

1?qs??（3 在超几何分布的产生背景中，将抽取n件产品分解为抽取n次，每次一

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常见离散型随机变量的概率及其分布关系

件．令Xi表示第i次抽取的次品数(1?i?n)，显然Xi服从0-1分布，

nMM,P?Xi?0??1?．这时X??Xi~h(n,M,N)； P?Xi?1??NNi?1不过要注意这里的X1,X2,（4） 设X1,X2,,Xn不是相互独立的[3]．

,Xn,是独立同分布于0-1分布的随机变量序列，Y??(?)，

且与?Xn?相互独立，则Z?X1?X2??XY??(?p)；

这个结果可以从母函数H(s)?G?g(s)??e?(q?ps?1)?e?p(s?1)得到验证. （5）设X1,X2,,Xn,是独立同分布于参数为p1的几何分布的随机变量序

列，Y?Ge(p2)，且与?Xn?相互独立，则Z?X1?X2?这个结果可以从母函数H(s)?G?g(s)??3 特殊关系

(1) 二项分布b(n,p)中, 取n?1, 即为0-1分布； (2) 巴斯卡分布中, 取r?1, 即为几何分布； （3）多项分布中，取r?2, 即为二项分布；

?XY?Ge(p1p2)．

p1p2s得到验证.

1?(1?p1p2)s（4）若X??(?1),Y??(?2), 且X,Y相互独立，则XX?Y?b(n,P?X?kX?Y?n??b(k;n,?1即?1??2)．

?1?1??2)，说明了泊松分布与二项分布的关系[4]；

?k?1?rk?rr?k?rk?rr（5）若X~Nb(r,p), 则P?X?k????pq???pq?b(r;k,p)，

k?r?k?r?1?这说明了二项分布与巴斯卡分布之间的关系[5]； （6）设X1,X2,,Xn相互独立，且Xi~Ge(pi),i?1,2,n,n, 则

X?min(Xi)?Ge(1??(1?pi))．

1?i?ni?1证明：P?X?k??Pmin(Xi)?k?Pmin(Xi)?k?1?Pmin(Xi)?k

1?i?n1?i?n1?i?n??????第13页（共23页）

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