离散型随机变量的研究(2)

离散型随机变量的研究

种等价关係，每一个等价类就是一个分布.需注意的是，通常谈到的二项分布，泊松分布，超几何分布，几何分布与负二项分布等，都是指各种类型的分布，而不能视作一个分布.

狭义地，它是指随机变量的概率分布函数.设X是样本空间(Ω,F)上的随机变量，P为概率测度，则称如下定义的函数是X的分布函数（distribution function），或称累积分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）：Fx?a??P?X?a?，对任意实数a定义.

具有相同分布函数的随机变量一定是同分布的，因此可以用分布函数来描述一个分布，但更常用的描述手段是概率密度函数.

随机变量的概率分布列具有以下两点性质： (1)非负性 p?xi??0,i?1,2,(2) 正则性 ?p(xi)?1.

i?1.

?对于特定的随机变量X，其分布函数FX是单调不减及右连续，而且

Fx?????0,Fx????1.这些性质反过来也描述了所有可能成为分布函数的函数：

随机变量的分布

设P为概率测度,X为随机变量则函数

F?x??P?X?x??x?R?

称为X的概率分布函数.如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-∞,x]上的概率.

例如，设随机变量X为掷两次骰子所得的点数差，而整个样本空间由36个元素组成，

数量

6

( i , j )∈ S

( 1,1 )，( 2,2 )，( 3,3 ) ( 4,4 )，( 5,5 )，( 6,6 )

( 1,2 )，( 2,3 ) ( 3,4 )，( 4,5 )，( 5,6 )

xP(X = x)

F(x)

06/36 6/36 16/36

10 110/36

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离散型随机变量的数字特征

( 2,1 )，( 3,2 )，( 4,3 ) ( 5,4 )，( 6,5 )

( 1,3 )，( 2,4 )，( 3,5 )

8 ( 4,6 )，( 3,1 )，( 4,2 )

( 5,3 )，( 6,4 ) 6

( 1,4 )，( 2,5 )，( 3,6 ) ( 4,1 )，( 5,2 )，( 6,3 )

( 1,5 )，( 2,6 ) ( 5,1 )，( 6,2 )

( 1,6 )，( 6,1 )

36/36 28/36

6

30/36

34/36

36/36

24/3

4 44/36

2 52/36

其分布函数是： ,x?0?0?6?36,0?x?1?16?,1?x?2?36?24F?x???,2?x?3 36??30,3?x?4?36?34?36,4?x?5?1,5?x?3.2 离散型随机变量函数的概率分布

设y=g(x)是定义在直线上的一个函数，X是一个随机变量，那么Y=g(X)作为X的函数，同样也是一个随机变量.在实际问题中，我们经常感兴趣的问题是：已知随机变量X的分布，如何求出另一个随机变量的Y=g(X)的分布. 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即

（PX?xk）?pk,k?1,2,

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离散型随机变量的研究

设X为随机变量，x是任意实数，则函数

F(x)?P(X?x)

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数.

P(a?X?b)?F(b)?F(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率.分布函数F(x)

（– ?，x]内的概率. 表示随机变量落入区间

分布函数具有如下性质：

1° 0?F(x)?1, ???x???；

2° F(x)是单调不减的函数，即x1?x2时，有 F(x1)?F(x2)； 3° F(??)?limF(x)?0， F(??)?limF(x)?1；

x???x???4° F(x?0)?F(x)，即F(x)是右连续的； 5° P(X?x)?F(x)?F(x?0). 对于离散型随机变量，F(x)?离散型随机变量的分布列为

?x1X~??p?x??1x2p?x2?ynp?xn?xnp?xn?????

????

xk?x?pk；

则其Y的分布列为

?y1Y~??p?x??1y2p?x2?当y的取值中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可.

3.3 离散型随机变量的母函数

母函数在研究离散型随机变量的某些问题中，具有非常重大的作用.现给出母函数的定义.

定义 2 设X是取非负整数值的随机变量，其分布律为pk?P?X?k?，对于

s?1，称G(s)??pksk?E(sX)为该分布的母函数．例如，若X~b(n,p)，则

k?0?第6页（共23页）

离散型随机变量的数字特征

G(s)??C(ps)qknkk?0nn?k?(q?ps)；若X~Ge(p)，则G(s)??pqk?1sk?nk?1?ps； 若1?qsX??(?)，则G(s)??k!e?s?k?0??kk?e?(s?1)．

母函数的性质：

可以证明母函数有如下性质[2] ：

(1) 概率分布与母函数是一一对应的．因而对于概率分布的许多研究可以化为对其所对应的母函数的研究；

(2) 独立随机变量之和的母函数 若随机变量X1,X2,数分别为G1(s),G2(s),,Xn相互独立，它们的母函

,Gn(s)，则X?X1?X2?Gn(s)

?Xn的母函数为

G(s)?G1(s)G2(s)

特别当X1,X2,,Xn独立同分布时，Gi(s)?G1(s)，这时 G(s)?[G1(s)]n；

,Xn,是一串独立同分布的取非

（3）随机个随机变量之和的母函数 设X1,X2,负整数值的随机变量，其母函数为g(s),随机变量Y是取正整数值的，其母函数为

G(s)．若?Xn?与Y独立，则Z?X1?X2??XY（若Y?0，则定义Z?0）的母函

数为H(s)?G?g(s)?． 典型离散型随机变量的母函数 ⑴ 两点分布的母函数：G?z??q?pz ⑵ 二项式分布的母函数：G?z???q?pz? ⑶ 泊松分布（）：G?z??e⑷ 几何分布：G?z???λ?z?1?n

pz 1?qz现在讲解几个母函数的应用 1 利用母函数求概率分布列

k定理：设随机变量X的母函数为GX?S???PkS?S?1?

k?0?第7页（共23页）

离散型随机变量的研究

则X的概率分布列为

?1?dkpk??kGx?s??k!?ds?s?0

证明：对Gx?s?用幂级数展开，并逐项求导，可得

?dkGx?s??k!pk??m?m?1?dskm?k?1?m?k?1?pmsm?k在上式中令s?0,有

?dk?GS???dskX??k!pk??S?0 因此

?1?dkpk??kGx?s??k!?ds?s?0

2 现在证明母函数的唯一性

证明：设随机变量的概率分布为?pk?,随机变量的概率分布为?qk?,它们的母函数

k分别为Gx?s???pks及Gy?s???qks

kk?0k?0??且Gx?s??Gy?s?,因Gx?s?和Gy?s?均为幂级数，且当s?1时该幂级数收敛，对

Gx?s?和Gy?s?求导k次，并令s?0，则得 k!pk?G?xk??0??G?yk??0??k!qk 因此得：pk?qk,k?0,1,2,一一对应的.

3 利用母函数求均值

利用母函数可以求得相应的概率分布的的数字特征，若非负整值随机变量X的母函数为

GX?S???Pkskk?0,即两个概率分布相同，由此可知，概率分布和母函数是

?

则其导数为

?dGx?s???kpksk?1dsk?1

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