离散型随机变量的研究

目录

毕业设计任务书 …………………………………………………………………………Ⅰ 开题报告 …………………………………………………………………………………Ⅱ 指导教师审查意见 ………………………………………………………………………Ⅲ 评阅教师评语 ……………………………………………………………………………Ⅳ 答辩会议记录 ……………………………………………………………………………Ⅴ 中文摘要 …………………………………………………………………………………Ⅵ 外文摘要 …………………………………………………………………………………Ⅶ 1 前言 ................................................................................................................................. 1 2 选题背景 ......................................................................................................................... 2

2.1 题目类型及来源 ................................................................................................... 2 2.2 研究目的和意义 ................................................................................................... 2 2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 ....................................................... 2 3 离散型随机变量的一些基本知识 ................................................................................. 3

3.1 随机变量与概率分布 ........................................................................................... 3 3.2 离散型随机变量函数的概率分布 ....................................................................... 5 3.3 离散型随机变量的母函数 ................................................................................... 6 4 常见离散型随机变量的概率及其分布关系 ............................................................... 10

4.1 常用离散型随机变量 ......................................................................................... 10 4.2 常用离散型随机变量的关系 ............................................................................. 12 4.3 常见离散型随机变量的特殊性质 ..................................................................... 14 5 离散型随机变量的数字特征 ....................................................................................... 15

5.1 公式法 ................................................................................................................. 16 5.2 随机变量分解法 ................................................................................................. 16 5.3 母函数方法 ......................................................................................................... 17 6 几个常用离散分布的应用讨论 ................................................................................... 19

6.1 关于泊松分布及其应用 ..................................................................................... 19 6.2 关于二项分布及其应用 ..................................................................................... 21 参考文献 ............................................................................................................................. 22 致谢 ..................................................................................................................................... 23

离散型随机变量的研究

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前言

离散型随机变量的研究

1 前言

目前,概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展.在社会科学领域 ,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用 概率统计方法.法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:“生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行,无所作为.

随机变量概念的引入是概率论发展史上的一次突破，它不仅在形式上使随机事件的表达形式简洁，而且还使变量、函数、积分等分析工具进入了概率论的理论研究之中，从而大大加快了概率论的发展进程.

随机变量在概率统计[1]研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质.

自18世纪以来，随机变量在得到不断的广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展．

对于随机变量，我们最关心的问题是它取哪一些值，以及它以多大概率取这些值.因此从这个角度看离散型随机变量的概率分布律的计算就成了学习离散随机变量的主要计算课题. 关于离散随机变量，常见离散随机变量概率分布及其关系、离散随机变量的数字特征、离散随机变量的概率分布的母函数及其性质的研究都是当今研究的主要方面.在离散型中比较典型，也比较重要的概率分布律要属二项分布，泊松分布，超几何分布与几何分布了，它们在许多实际问题中也有应用到.

本文先介绍随机变量与概率分布的关系，然后给出几种常见的离散型随机变量的概率分布及其关系，介绍离散型随机变量的函数的一些性质，通过研究离散型随机变量的母函数来求它的数字特征及其其他问题，最后讨论离散型随机变量的一些应用研

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离散型随机变量的研究

究.

通过研究离散型随机变量的一些常见性质以及它在某些方面的应用研究，来更深刻的学习它的一方面知识.基于此以突出它在数学教学中的重要意义以及未来发展中的重要影响.

2 选题背景

2.1 题目类型及来源

题目类型：研究论文 题目来源：专题研究

2.2 研究目的和意义

随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质.而离散型随机变量是为随机变量中的一种，即研究的变量仅可能取有限个或可列个值，比如抛掷骰子出现的点数、射击命中的环数、产品检验中次品的件数等等，都是离散型随机变量研究的范畴．

通过研究也可以检验自己对专业理论知识的理解与掌握程度．锻炼自己综合运用所学知识分析问题，解决问题的能力．使自己具有良好的思想作风，顽强的学习毅力和实事求是的工作作风，培养自己综合运用所学理论知识和技能的能力．

2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向

自18世纪以来，随机变量在得到不断的广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展．

关于离散随机变量，常见离散随机变量概率分布及其关系、离散随机变量的数字特征、离散随机变量的概率分布的母函数及其性质的研究都是当今研究的主要方面.每个随机变量都有一个分布，不同随机变量可以有不同的分布，随机变量有千千万万

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离散型随机变量的数字特征

个，但常用分布并不多，常用离散分布主要为二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负几何分布，其中二项分布，泊松分布以及超几何分布在现实生活中有比较广泛的应用,是当今国内外研究的主攻方向.另外多维随机变量也是当今研究的主要范畴.随机变量（random variable）表示随机现象（在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点），例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例．

随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，离散随机变量的研究方向基本上也是一致的，主要研究离散随机变量的概率分布关系及其母函数的特征性质，离散随机变量的分布列以及数字特征，离散随机变量的均值与方差，离散随机变量的数学期望等等.

3 离散型随机变量的一些基本知识

3.1 随机变量与概率分布

定义 1 定义在样本空间Ω上的实值函数X?X?ω?称为随机变量，常用大写字母X,Y,Z等表示随机变量，其取值用x,y,z等表示.假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量.假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间（a,b）,则称其为连续随机变量，其中a可以是??,b可以是?.

概率分布是随机变量指X小于任何已知实数x的事件可以表示成的函数。用以表述随机变量取值的概率规律.描述不同类型的随机变量有不同的概率分布形式.是概率论的基本概念之一.

概率分布是概率论的一个概念,使用时可以有以下两种含义：

广义地，概率分布是指称随机变量的概率性质：当我们说概率空间 (Ω,F,P)中的两个随机变量X和Y具有同样的分布（或同分布）时，我们是无法用概率P来区别他们的.换言之：称X和Y为同分布的随机变量，当且仅当对任意事件Α?F，有

P?X?A??P?Y?A?成立.

但是，不能认为同分布的随机变量是相同的随机变量.事实上即使X与Y同分布，也可以没有任何点ω使得X(ω)=Y(ω).在这个意义下，可以把随机变量分类，每一类称作一个分布，其中的所有随机变量都同分布。用更简要的语言来说，同分布是一

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