信号与系统第四次实验报告(5)

KMk

?ak?0y[n?k]??bm?0mx[n?m] （8.1）

?n?nx?Nx?1式中x[n]是系统的输入，若x是包含在区间nxy[n]是系统的输出。

内

的x[n]的一个MATLAB向量，而向量a和b包含系数ak和bm，那么y=filter(b,a,x)就会得到满足下面差分方程的因果LTI系统的输出：

KM

?a(k?1)y(n?k)??b(m?1)x(n?m) （8.2）

k?0m?0其中a(k?1)?ak，b(m?1)?bm。由filter产生的输出向量y包含了y[n]在与x中所在样本同一区间上的样本，即nx以使得向量?n?nx?Nx?1，

x[n]x和y中都包含了Nx是在

个样本。然而值得注意的是filter需要的

是在nx?M?n?nx?1，y[n]nx?K?n?nx?1，以便计算出第一个输出值y[n?nx]。函数

filter假设这些样本全

等于零。

函数filter也能用于计算离散卷积。考虑当

KMkMmak??[k]时满足

?ak?0y[n?k]??bm?0x[n?m]的一类系统，即变为y[n]??bm?0mx[n?m]，信号可看成

bmLTI系统的单位冲激响应，因为bm是有限长的，因此称这样的系统维有限长冲

激响应FIR系统。 基本题

1．求解由差分方程y[n]?0.8y[n?1]?2x[n?1]表征的系统，当输入信号x[n]?nu[n]时，在1?n?4区间内的响应y[n]。 代码：clear;clc;

x=[1 2 3 4];

a=2; %a表示方程右边系数 b=[1 -0.8];% b表示方程左边系数 y=filter(a,b,x)

运行结果：y =[2.0000 5.6000 10.4800 16.3840]

2．已知x[n]???1 0?n?5?0 其余n和h[n]???n 0?n?5?0 其余n，利用filter求y[n]?x[n]?h[n]。

并与conv计算结果相比较。 代码：clear;clc;

x=[1 1 1 1 1 1];

h=[0 1 2 3 4 5]; % 表示方程右边系数 b=1;% b表示方程左边系数 y=filter(h,b,x)

运行结果：y=[ 0 1 3 6 10 15]；利用conv求出的结果：

y=[ 0 1 3 6 10 15 15 14 12 9 5]

分析：filter求出的卷积是conv函数截短的结果，截短的长度根据输入长度和冲

激相应的长度而定，由filter求出的卷积序列长度跟输入序列长度相等。 3．考虑冲激响应h2[n]?h[n?5]，利用filter计算y2[n]?x[n]?h2[n]，并用stem画出所得结果。 代码：clear;clc;

a=1;

h=[0 0 0 0 0 1 2 3 4 5];

x=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]%为能看完整的卷积结果，将x补0延长 y=filter(h,a,x) len=length(y); for i=1:len ny(i)=i-6; end stem(ny,y); grid on;

运行结果：y=[ 0 0 0 0 0 1 3 6 10 15 15 14 2 9 5 0 0]

§8.3 离散时间LTI系统的性质 目的

在这个练习中，将对一组特定的信号检验卷积的交换律、结合律和分配律性质。另外还要考查这些性质对于LTI系统的级联和并联意味着什么。 基本题

1．已知信号

?1 0?n?4x1[n]???0 其余n

?1 n?0?-1 n?1??h1[n]??3 n?2?1 n?4???0 其余n?2 n?1?5 n?2??h2[n]??4 n?3?-1 n?4???0 其余n

定义代表区间0?n?9内的x1[n]的MATLAB向量x1，以及代表在区间0?n?4内的h1[n]和h2[n]的MATLAB向量h1和h2。同时，定义nx1和nx2为这些信号合

适的标号向量。利用stem画出这些信号并作适当标注。 代码：clear;clc;

x1=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0] h1=[1 -1 3 1 0] h2=[2 5 4 -1 0]

for i=1:length(x1), nx1(i)=i-1;end for i=1:length(h1), nx2(i)=i-1;end subplot(311)

stem(nx1,x1);grid on;title('x1') subplot(312)

stem(nx2,h1);grid on;title('h1') subplot(313)

stem(nx2,h2);grid on;title('h2')

运行结果：

2．交换律意味着具有单位冲激响应h[n]的LTI系统，在输入为x[n]时所得到输出在输入为h[n]时所得的输出y[n]y[n]与单位冲激响应为x[n]，

是一样的，利用conv

以及x1和h1验证这一性质。conv的输出是与卷积次序无关吗？ 代码：clear;clc;

x1=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0]; h1=[1 -1 3 1 0]; y1=conv(x1,h1)

y2=conv(h1,x1) %交换卷积次序

运行结果：

分析：通过以上结果可知，conv的输出是与卷积次序无关的，验证了卷积的交

换律这一性质

3．卷积具有分配律性质，这意味着，两个并联系统的输出与单位冲激响应是该并联系统单位冲激响应之和的系统的输出是相同的。利用x1，h1和h2验证分配率性质。当输入为x1[n]时，用单位冲激响应为h1[n]和h2[n]计算LTI系统的输出的和。将结果与输入为x1[n]，单位冲激响应为h1[n]?h2[n]的LTI系统的输出进行比较。

代码：clear;clc;

x1=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0]; h1=[1 -1 3 1 0]; h2=[2 5 4 -1 0]; y1=conv(x1,h1); y2=conv(x1,h2);

y=y1+y2 %先分别求卷积，然后求和

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