Matlab课程设计利用MATLAB结合双线性变换法设计一个数字切比雪夫(14)

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再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面 z=e1 从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：

T2s s z

T21 s s2T1

21 z 1

s

T1 z 1

sT

（3-4)

（3-5)

式（3-4）与式（3-5）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。

双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先,把z=ejω，可得

s

21 e2

jtan j

T1 e j T 2

j

（3-6）

即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 其次，将s=σ+jΩ代入式（3-5），得 因此

|z|

2

j z 2

j T

2 2 T 2 2 T

22

（3-7）

由此看出，当σ<0时，|z|<1；当σ>0时，|z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系重写如下：

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