考研高数讲义 新高等数学下册辅导讲义 - 第十二章(4)

第十二章 无穷级数

?S?(x)??(an?nx)???nanxn?1 x?(?R,R)

n?0n?1?x?xn?0S(x)dx??anx??(?R,R)

n?0?0xd?anxn?1 xn?0n?1?【例6】（97一）设幂级数

?annx的收敛半径为3，则幂级数

n?0??na(n?1nx?1)的收敛区间为 . n?1 【答案】(?2,4) 【重点小结】 1、幂级数的相关定义

2、幂级数的收敛域的求解（阿贝尔定理） 3、幂级数的运算性质

第四节 函数展开成幂级数与级数求和

一、泰勒级数

复习泰勒中值定理：若函数f(x)在x0的某邻域内具有n?1阶导数, 则在该邻域内有：

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x(x0)0)?f??2!(x?x0)2?? f(n) ?(x0)n!(x?x0)n?Rn(x)

)?f(n?1)此式称为f(x)的n阶泰勒公式 , 其中R(?)n(x(x?x?1(n?1)!0)n（?介于x0与x之间）称为拉格朗日余项。

泰勒级数的定义：若f(x)在x0的某个邻域内具有任意阶导数，则称

学习笔记：

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第十二章 无穷级数

f(x)?f(x??(x0)0)?f?(x0)(x?x0)?f(x?x22!0)?? ?f(n)(x0)n!(x?xn0)??

为f(x)的泰勒级数。当x0?0时泰勒级数又称为麦克劳林级数。 函数展开成泰勒级数的充要条件（数一）：设f(x)在x0的某个邻域内具有任意阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要

条件是f(x)的泰勒余项Rf(n?1)(?)?1n(x)?(n?1)!(x?x0)n?0(n??)，

x是该邻域中的点，?介于x0与x之间).此时，有泰勒级数 n)f(x)?f(xf(k(x0)0)??k?1k!(x?x0)n?Rn(x) ?(n) ?f(x(x0)0)??f(x?xnn?1n!0)。 二、几个常见函数的麦克劳林展开式

x??xn（1）e?,x?(??,??);

n?0n!?（2）ln(1?x)??(?1)nn?1n?1x,x???1,1?；

n?0?（3）sinx??(?1)nn?1)!x2n?1,x?(??,??)； n?0(2?(?1)n（4）cosx??(2n)!x2n,x?(??,??)；

n?0（5）

1?1?x??xn,x?(?1,1)；

n?0

学习笔记：

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第十二章 无穷级数

（6）(1?x)??1??x??(??1)2!x2??

??(??1)?(??n?1)n!xn??,x?(?1,1)

?（7）11?x??(?1)nxn,x?(?1,1)。

n?0三、函数展开成幂级数

展开方法??直接展开法—利用泰勒公式

?间接展开法—利用已知其级数展开式的函数1、直接展开法

由泰勒级数理论可知, 函数f(x)展开成幂级数的步骤如下： 第一步 求函数及其各阶导数在x?0处的值；

第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径R； 第三步 判别在收敛区间(?R,R)内limn??Rn(x)是否为0。

【例1】将f(x)?ex展开成x的幂级数。

【答案】ex???xn,x?(??,??)

n?0n!2、间接展开法

具体方法：利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质，将所给函数展开成幂级数。 【例2】（87三）将函数f(x)?1x2?3x?2展开x的级数，并指出收敛区间. ??【答案】f(x)??xn?12?(1?12n?1)xn，其收敛区间为(?1,1). n?1n?0【例3】（95三）将函数y?ln(1?x?2x2)展成x的幂级数，并指出其收敛区间.

【答案】ln(1?x?2x2?)??(?1)n?1?2nxn，收敛区间为?11?n?1n???2,2??.

学习笔记：

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第十二章 无穷级数

【例4】（89一）将函数f(x)?arctan1?x展为x的幂级数. 1?x学习笔记： 【答案】?4??(?1)2n?1x，(?1?x?1). 2n?1n?0?n11?x1?arctanx?x展开成x的【例5】（94一）将函数f(x)?ln41?x2幂级数. ?4n?1【答案】f(x)??xn?1(?1?x?1) n?14【例6】将

?xsint0tdt展成x的幂级数。 ?【答案】F(x)??(?1)n?12n?1xn?1(???x???) n?0(2n?1)!2四、级数求和

（一）幂级数求和

具体方法：利用已知幂级数的展开式间接求解和函数。 ?【例7】求幂级数

?(?1)n(2n?1)x2n?2的和函数。

n?1x2【答案】?1(1?x2)2，x?(?1,1)

?【例8】求幂级数?n(n?1)xn?1的和函数。 n?12【答案】1(1?x)3，x?(?1,1) ?

】求幂级数?x2n

【例9n

的和函数。

n?1【答案】?ln(1?x2)，x?(?1,1)

?2n【例10】求幂级数?(?1)nxn?1n(2n?1)的和函数。

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第十二章 无穷级数

【答案】?2xarctanx?ln(1?x2)，x?[?1,1] 【例11】（90一）求幂级数

学习笔记：

?(2n?1)x?n的收敛域，并求其和函数.

n?0【答案】收敛域是(?1,1)；S(x)?1?x(1?x)2，?1?x?1. ?【例12】（05三）求幂级数??n?1?1?2n?1?1??2n?x在区间(?1,1)内的和函数S(x).

?11?x【答案】S(x)???2xln1?x?11?x2,|x|?(0,1), ??0,x?0?【例13】（87一）求幂级数?1n?1nx的收敛域，并求其和函数. n?1n2【答案】收敛域为??2,2?，S(x)?2xln22?x，x???2,2?. （二）常数项级数求和

具体方法：选择适当的幂级数求和，然后将x的数值带入求值。 ?【例14】求数项级数

?1(2n?1)2的和。 n?1n【答案】

22ln(2?1)

15】2（96一）求级数??【例1(n2?1)2n的和. n?2【答案】58?34ln2 ?【例16】（93一）求级数?(?1)n(n2?n?1)n?02n的和. 【答案】2227

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