考研高数讲义 新高等数学下册辅导讲义 - 第十二章(2)

第十二章 无穷级数

具体的：若存在N?Z?，对一切n?N，(1)u1?n?n，则?un发

n?1散；(2)u1?n?np(p?1)，则?un收敛。

n?1【例1】 判断下列级数的敛散性

?n?（1）?1??3?? （2）n?1n?5??1n（a?0,a?1） n?11?a?6n?（3）?1nn（4）n?17?5

? n?1n2?n?1?（5）?ln??11?n?1??n2??

【答案】（1）收敛；（2）当0?a?1时，发散；当a?1时，收敛； （3）收敛； （4）发散； （5）收敛

【例2】（97一）设a111?2，an?1?2(an?a)(n?1,2,?)，证明 na?(Ⅰ)limann??n存在；（Ⅱ）级数?(?1)收敛. n?1an?1【解析】（1）用单调有界必收敛证明；（2）用比较审敛法证明 ??收敛定理3： (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数

?un，?vn，

n?1n?1满足limunn??v?l，则有:

n（1）当0?l??时, 两个级数同时收敛或发散； ??（2）当l?0时，且

?vn收敛时，

n也收敛；

n?1?un?1??（3）当l??时，且

?vn发散时，

un也发散。

n?1?n?1【例3】判断下列级数的敛散性

学习笔记：

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第十二章 无穷级数

（1）132?2332?3343???n?n?1?n??

?（2）?1lnn?p（其中常数p?0） n?2?【答案】（1）收敛；（2）发散 【例4】（04一）设

??an为正项级数，下列结论中正确的是

n?1?（A）若limn??nan?0,则级数

?an收敛.

n?1?（B）若存在非零常数?,使得limn??nan??.则级数

?an发散.

n?1（C）若级数

??an收敛，则lim2n?1n??nan?0.

?（D）若级数?an发散，则存在非零常数?,，使得limn?1n??nan??.

答案：（B）

?收敛定理4：（比值审敛法）设?u为正项级数，且limun?1nn?1n??u??，

n则有：

（1）当??1时，级数收敛；

（2）当??1或???时，级数发散。 （3）当??1时,级数可能收敛也可能发散.

?1【例】p?级数?1u1(n?1)pp：limn?n??u?limn??1?1，但

n?1nnnp??p?1,级数收级数发 敛；?p?1,散。【例5】判断级数的敛散性

学习笔记：

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第十二章 无穷级数

?（1）?3n?n!n?12n （2）?n?110n

【答案】（1）收敛；（2）发散 【例6】（04三）设有下列命题： ??①若

?(?2n?1??2n)收敛，则n?1?un收敛.

n?1??②若

?un收敛，则

n?100收敛.

n?1?un?1?③若limun?1?1，则?un发散. n??unn?1???④若

?(?n?vn)收敛，则un，n?1??1?vn都收敛.

nn?1则以上命题中正确的是

（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④ 【答案】（B）

?【例7】（88三）讨论级数?(n?1)!n?1的敛散性. n?1n【答案】收敛.

收敛定理5：（根值审敛法）设??un为正项级数, 且limnn??un??，

n?1则有：

（1）当??1时，级数收敛； （2）当??1时，级数发散；

（3）当??1时,级数可能收敛也可能发散。

?11?1?p【例】p?级数?p：un?p，nun????1(n??)，n?1nn??nn??

学习笔记：

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第十二章 无穷级数

但??p?1,级数收敛；?1,级数发散。 ?p【例8】判断级数的敛散性

??（1）?n3?3n32n?1n?14n （2）?n?1(2n?1)22n?1 【答案】（1）收敛；（2）发散

二 、交错级数及其审敛法

设 un?0,n?1,2,?，则各项符号正负相间的级数

u1?u2?u3???(?1)n?1un??称为交错级数。

收敛定理6 ：(莱布尼茨判别法)若交错级数满足条件： （1）un?un?1(n?1,2,?)； （2）limn??un?0，

?则级数

?(?1)n?1un收敛，且其和S?u1，其余项满足rn?un?1。

n?1?【例9】用莱布尼茨判别法判别级数的敛散性：

?(?1)n?1lnnn?2n lnn【解析与答案】讨论 un?n的极限和单调性，亦即讨论函数

f?x??lnxx，当x???时的极限，和f?x?在?2 ???上的单调性，由此可知级数是收敛的。

【例10】（95一）设un?1?n?(?1)ln??1?n??，则级数 ???（A）

?u22n与

n都收敛. （B）

n都发散.

n?1?un?1??un与

n?1?un?1????（C）

?u2n收敛而

n发散. （D）

n?1?u2n?1?un发散而

n?1?un收敛.

n?1

学习笔记：

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第十二章 无穷级数

【答案】（C） 学习笔记：

?三、绝对收敛与条件收敛

定义：对任意项级数

?un?1?n，若

?n?1? un收敛，则称原级数?un绝对

n?1收敛；若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级数

??un条件收敛。

n?1??【例】

?(?1)n?11n条件收敛；为绝对收敛。 n?1?12n?1n定理7 绝对收敛的级数一定收敛。 【例11】判断级数的敛散性。 ?（1）

?(?1)nn2?n?1en （2）?(?1)n?11 n?1n?1?（3）

?(?1)n?1 （4sinn?n?1n?2n）?n?1n4 【答案】（1）绝对收敛；（2）条件收敛； （3）绝对收敛；（4）绝对收敛 ?【例12】（87一）设常数k?0，则级数?(?1)nk?nn?1n2 （A）发散. （B）绝对收敛.

（C）条件收敛. （D）收敛或者发散与k的取值有关. 【答案】（C）

?【13】（90一）设?为常数，则级数??n?1?sinn?1??n2?n? ?（A）绝对收敛. （B）条件收敛.

（C）发散. （D）收敛性与?的取值无关. 【答案】（C）

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