考研高数讲义 新高等数学下册辅导讲义 - 第十二章(3)

第十二章 无穷级数

?【例14】（92一）级数?(?1)n(1?cos?n?1n)（常数??0） （A）发散. （B）条件收敛. （C）绝对收敛. （D）收敛性与?有关. 【答案】（C）

?【例15】（94一）设常数??0，且级数

?a2n收敛，则级数

n?1??(?1)nan n?1n2??（A）发散. （B）条件收敛. （C）绝对收敛. （D）收敛性与?有关. 【答案】（C）

【例16】（96一）设an?0(n?1,2,?)且??an收敛，常数??(0,?)，n?12??则级数(?1)n(ntan?)a2n n?1n（A）绝对收敛. （B）条件收敛. （C）发散. （D）敛散性与?有关. 【答案】（A）

【例17】（96三）下述各选项正确的是 ?（A）若

?u2?2?n和

n都收敛，则

un?vn)2收敛.

n?1?vn?1?(n?1??2?（B）若?unvn收敛，则n与v2n收敛. n?1?un?1?n?1?（C）若正项级数?u发散，则u1nn?. n?1n??（D）若级数

?un收敛，且un?vn(n?1,2,?)，则级数

n?1?vn也收敛.

n?1【答案】（A）

学习笔记：

107

第十二章 无穷级数

【重点小结】 级数敛散性判别总结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件limn??un?0 不满足 发散

满足 比值审敛法limun?1 n??u?? n??1 不定 ??比较判别法根值审敛法?部分和极限 limnn??un??

??1 ??1 收敛 发散 3. 任意项级数审敛法 ???概念：设

?un为收敛级数，若

un收敛，称绝对收敛；若

n?1?n?1?unn?1???un发散，称条件收敛。

n?1?unn?1莱布尼茨判别法：un?un?1?0???lim??交错级数?(?1)nun收敛。 n??un?0??n?1第三节 幂级数

一、 函数项级数的概念

设un(x)(n?1,2,?)为定义在区间I上的函数, 则称

??un(x)?u1(x)?u2(x)???un(x)??

n?1为定义在区间 I上的函数项级数。 ? 对x0?I，若常数项级数

?un(x0)收敛,称x0为其收敛点，

所有n?1

学习笔记：

108

第十二章 无穷级数

?收敛点的全体称为其收敛域；若常数项级数

?un(x0)发散，称x0为

n?1其发散点, 所有发散点的全体称为其发散域。

在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x)，称它为级数的和

函数 , 并写成S(x)???un(x)。若用Sn(x)表示函数项级数前n项

n?1n的和, 即Sn(x)??uk(x)，令余项rn(x)?S(x)?Sn(x)，则在收敛

k?1域上有limn??Sn(x)?S(x)，limn??rn(x)?0。

?【例】等比级数

?xn?1?x?x2???xn??，它的收敛域是

n?0?(?1,1)，当x?(?1,1)时，有和函数?xn?1n?01?x；它的发散域是(??,?1]和[1，??），或写作x?1。

二、幂级数及其收敛性

形如：

??a(x?xnn0)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n??n?0的函数项级数称为幂级数, 其中数列an(n?0,1,?)称为幂级数的系数。

下面着重讨论x0?0的情形, 即

??an2nx?a0?a1x?a2x???anxn??

n?0?定理1 (阿贝尔定理)若幂级数

?annx在x?x0点收敛，则对满足

n?0不等式x?x0的一切x幂级数都绝对收敛。反之，若当x?x0时

学习笔记：

109

第十二章 无穷级数

该幂级数发散，则对满足不等式x?x0的一切x，该幂级数也发散。

?由阿贝尔定理可以看出,

?annx的收敛域是以原点为中心的区

n?0间。用?R表示幂级数收敛与发散的分界点, 则R?0时, 幂级数仅在x?0收敛；R??时, 幂级数在(??,??)收敛；0?R??时，幂级数在(?R,R)收敛；在[?R,R]外发散；在x??R可能收敛也可能发散。R称为收敛半径，(?R,R)称为收敛区间。(?R,R)加上收敛的端点称为收敛域。 定理2 若

??annx的系数满足liman?1n?0n??a??，则 n（1） 当??0时，R?1?；

（2）当??0时，R??； （3） 当???时，R?0。

?注：据此定理?aannxn的收敛半径为R?limn?0n??a。 n?1【例1】（95一）幂级数??nn?(?3)nx2n?1的收敛半径R? . n?12【答案】3 nn【例2】（02三）设幂级数?axnnn和n的收敛半径分别为5n?1?bx3与n?11n3，则幂级数?a2nxn2的收敛半径为 n?1bn（A）5. （B）53. （C）113. （D）5. 【答案】（A）

学习笔记：

110

第十二章 无穷级数

?【例3】求幂级数?xnn?0n2n的收敛半径及收敛域。 【答案】收敛域为??2,2? ?n【例4】（88一）求幂级数?(x?3)n的收敛域. n?1n?3【答案】?0,6? 【例5】（88一）若??ann(x?1)在x??1处收敛，则此级数在x?2n?1处（ ）

（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）收敛性不能确定 答案：（B）

三、幂级数的运算

?定理3 设幂级数

?an?nx及

bnnx的收敛半径分别为R1,R2，令

n?0?n?0R?min?R1,R2?，则有：

????anxn???anxn(?为常数) x?R1

n?0n?0??axn???bxn?nn?n?bn)xn x?R

n?0n?0?(an?0?????nanxn???bnxn???cnxn

x?R（其中cn?n?k）

n?0n?0n?0?akbk?0?定理4 若幂级数

?annx的收敛半径R?0，则其和函数S(x)在收敛

n?0域上连续并有任意阶导数，且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分，运算前后收敛半径相同：

学习笔记：

111

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库考研高数讲义 新高等数学下册辅导讲义 - 第十二章(3)在线全文阅读。