考研高数讲义 新高等数学下册辅导讲义 - 第十二章

第十二章 无穷级数

第十二章 无穷级数

??定义????性质???由定义判断??????由收敛的必要条件判断级数的发散性?????收敛的充要条件??????常????比较审敛法?数???????比较审敛法的极限形式??正项级数??项??判断敛散性???比值审敛法?级??利用收敛判别法则??根值审敛法??????数???????常用级数：p级数和几何级数??????交错级数（莱布尼茨判别法）???变号级数?????无??一般级数（绝对收敛和条件收敛）????穷????利用级数的若干性质（添项减项，加括号，去括号等等）??级??求和—转化为幂级数求和或者利用定义数????????幂级数收敛性的特点??求幂级数的收敛域的方法????幂级数?幂级数和函数的性质??幂级数的求和?????直接法??函数展开成幂级数????间接法???求定义在[?l,l]上的函数的傅里叶级数???求定义在[0,l]上函数的正弦或者余弦级数?傅里叶级数????已知函数的表达式求它的傅里叶级数和常数项级数求和??狄利克来收敛定理???

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【本章网络结构图】

第十二章 无穷级数

第一节 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的收敛与发散

给定一个数列u1,u2,u3,?,un,?将各项依次相加, 简记为

学习笔记：

?u?n，即

?u?n?u1?u2?u3???un??，称该式为无穷级数，

n?1n?1其中第n项un叫做级数的一般项, 级数的前n项和

nSn??uk?u1?u2?u3???un称为级数的部分和。若

k?1limn??Sn?S存在，则称无穷级数收敛，并称S为级数的和, 记作

?S??un；若limSn不存在，则称无穷级数发散。

n?1n??当级数收敛时, 称差值rn?S?Sn?un?1?un?2??为级数的余项。显然limn??rn?0。

?(ln3)n【例1】（93三）级数?n的和为 . n?12【答案】ln32?ln3 ?结论：等比（几何）级数

?aqn ：收敛 当|q|?1时

n?0 发散 当|q|?1时

二、收敛级数的和

?若

?un收敛，则其和定义为S?n?1??nun?limn?1n???uk?limSn。

k?1n??三、无穷级数的基本性质

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第十二章 无穷级数

??（1）若级数

?un收敛于S，即S?un，则各项乘以常数c所得

n?1?n?1?级数

?cun也收敛，其和为cS。

n?1注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 ???（2）设有两个收敛级数S??un，??n，则级数

(un?vn)n?1?vn?1?n?1也收敛, 其和为S??。

注：该性质表明收敛级数可逐项相加或相减 相关结论：（1）若两级数中一个收敛一个发散,则

??(un?vn)必发散。

n?1? （2）若二级数都发散，

?(un?vn)不一定发散。

n?1【例】取unn?(?1)2，vn?(?1)2n?1，而un?vn?0。 （3）在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性。 （4）收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和。 推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散。 注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。

【例】(1?1)?(1?1)???0，但1?1?1?1??发散。 【例2】判断级数的敛散性：

11112?1?2?1?13?1?3?1?14?1?4?1??

【解析与答案】

S112n?2?1?2?1???1n?1?1?1n?1?1

学习笔记：

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第十二章 无穷级数

???1?2?1?1??11?2?1???????n?1?1?n?1?1???2?1?223???n ?2???1?111?2?3???n?? nlim??S2n不存在

故原级数发散

四、级数收敛的必要条件

?必要条件：若

?un收敛，则limn??un?0。

n?1逆否命题：若级数的一般项不趋于0，则级数必发散。

【例】1234n?1n2?3?4?5???(?1)n?1??，其一般项为 unn?(?1)n?1n?1，当n??时，un不趋于0，因此这个级数发散。注：limn??un?0并非级数收敛的充分条件 【例】调和级数

??1?1?1?11n?1n23???n??，虽然 limn??u?lim1nn??n?0，但是此级数发散。事实上，假设调和级数收敛于S，则limn??(S2n?Sn)?0， 但S12n?Sn?n?1?1n?2?1n?3???1n12n?2n?2，矛盾！所以假设不真。

【例3】判断下列级数的敛散性，若收敛求其和： （1）

???1??ln??n?1?1?n?? （2）?n1?cosn?1n 【答案】（1）发散；（2）发散

五、两个重要级数：几何级数与p级数的敛散性

学习笔记：

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第十二章 无穷级数

?（1）几何级数：

?rn，当|r|?1时收敛；当|r|?1时发散.

n?1?（2）p级数(或对数p级数)：?1??pn?1n?或?1?nlnpn?，当p?1时收?n?2?敛，当p?1时发散。 【重点小结】

1、常数项级数收敛和发散的定义 2、常数项级数敛散的性质 3、常数项级数收敛的必要条件 4、常用的两个常数项级数

第二节 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数：若un?0，则称??un为正项级数。

n?1?收敛定理1：正项级数

?un收敛等价．．

于部分和序列Sn(n?1,2,?)有n?1界。

?收敛定理2 ：(比较审敛法)设

?un，

是两个正项级数, 且存

n?1??vnn?1在N?Z?，对一切n?N，有un?kvn（常数 k?0),则有

??（1）若强级数

?vn收敛，则弱级数

n也收敛；

n?1?un?1??（2）若弱级数

?un发散，则强级数

n?1?vn也发散。

n?1调和级数与p级数是两个常用的比较级数。

学习笔记：

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