历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答(5)

由此式求得玻璃管的长度L＝130cm，

因此，氢气在第一步至第四步中体积分别为：V h1＝60cm，V h2＝90cm，V h3＝80cm，V h4

＝85cm

从第二步到第三步，氢气的状态方程为：(60 40) 90 (ph3 50) 80

273T3

对空气应用盖吕萨克定律：

pk360

T3273

从第三步到第四步，我们只有向上提升活塞，以便使空气压强保持不变。氢气的状态方

(p 50) 80(pk4 45) 85

程为：k3

T3T4

解以上方程组，得：pk3＝pk4＝80cmHg， T3＝364K， T4＝451K，

所以氢气的压强为：ph3＝30cmHg ph4＝35cmHg 算出空气的体积比为：V k1:V k2:V k4＝6:10:12.4 （注：cmHg为实用单位，应转换成国际单位Pa）

【题3】四个等值电阻R、四个C＝1 F的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来，如图5.3所示。各电池的电压为U1＝4V，U2＝8V，U3＝12V，U4＝16V，它们的内电阻均可忽略。（a）求每个电容器的电压和电量，（b）若H点与B点短路，求电容器C2上的电量。 U1

_C

解：（a）GRGCC11将这个网U2

U1_F

络展开成BC3RRR2U平面图_3C3FHC2

（如解图

URC4R_3R

5.3.1）。HC4

U4D

_由于电流EU4C2R_不能通过A

E

电容器，

所以只在图 图5.3 解图5.3.1 中A-B-C-G-H-E-A回路的导线中有电流。在这个回路中，电压为12V，电阻为4R。 因此电流为：I

U4 U1

4R

于是就知道了电阻和电源两端的电压。设A点的电势为零，就能很容易地算出各点的电势。

A 0 V B (U4－U1)/4 3 V C (U4－U1)/2 6 V G (U4－U1)/2＋U1 10 V H (U4－U1)/2＋U1＋(U4－U1)/4 13 V E (U4－U1)/2＋U1＋(U4－U1)/2 16 V D (U4－U1)/2＋U1＋(U4－U1)/4－U3 1 V F (U4－U1)/4－U3＋U2 11 V

从每个电容器两端的电势差，可以算出其电量如下：

-6

C1 （11－10）V＝1V， 1×10C。

C2 （16－11）V＝5V， 5×10-6C。 C3 （6－1）V＝5V， 5×10-6C。 C4 （1－0）V＝1V， 1×10-6C。 _2

CG我们可以算出各电容器的储能量CU /2。电容器C1和

U1C4各有0.5×10-6 J，电容器C2和C3各有12.5×10-6 J。

RR（b）H点与B点连接，我们得到两个分电路。如解图

U

5.3.2。在下方的分电路中，电流为4，E点相对A点的电

2R

势是U4＝16 V，H点与B点的电势是U4／2＝8 V。F点的电势为

U2_HR

U4_E

C2

RA

U4

U2＝16 V 2

于是，电容器C2两极板的电势均为16 V，结果C2上无电量。 解图5.3.2

【题4】在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心距离镜面3R，缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂

直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。

4

水的折射率为n 。如图5.4（a），5.4（b）

3

解：鱼在1秒钟内

游过的距离为v。 图5.4（a） 我们把这个距离

当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度

的正弦用角度本身 图5.4（b） 去近似。

在T1点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像，如图5.4（a）所示。从T1点以角度r＝∠A T1O发出的光线，在A点水中的入射角为r，在空气中的折射角为n r。把出射光线向相反方向延长，给出虚像的位置在K1，显然∠K1A T1＝n r－r＝（n－1）r

从三角形K1 T1 A，有：

K1T1(n 1)r

n 1 K1Ar

利用通常的近似：K1A≈K1O＋R， K1AT1≈K1O－R 于是

K1O R

n 1

K1O R

所以这个虚像与球心的距离为K1O 水的折射率n 得到放大率为

n

R 2 n

4

，从而K1O＝2R。若折射率大于2，则像是实像。有像距与物距之商3

K1On

T1O2 n

对水来说，放大率为2。

以与速度v相应的线段为物，它位于在E处的平面镜前的距离为2R处，它在镜后2R远的T2处形成一个与物同样大小的虚像。T2离球心的距离为5R。在一般情形下，我们假设T2O＝kR。T2处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定T2的实像而无需再去考虑平面镜。如图5.4（b）所示。

我们需要求出以r角度从T2发出的光线在C点的入射角β，其中r＝∠CT2F。 在三角形T2OC中，

r

T2OkR

k β＝k r COR

玻璃中的折射角为：

n

kr

DCO CDO n

需要算出∠DOB。 因为：∠COF＝β－r＝k r－r＝r（k－1）

而且∠COD与C点和D点的两角之和相加，或与∠COF和∠DOB之和相加，两种情况都等于180，因此 DOB r(k 1)

即 DOB r(

2kr

n

2k

k 1) nOK2

DK2

从三角形DOK2，有

2k

r( k 1)n

k2k

k 1n

此外

OK2k

，

2kOK2 R

k 1n

nk

R

n(2k 1) 2k

因此像距为：OK2 若k＝5，n＝

410，得OK2 R 33

放大率为

OK2n OT2n(2k 1) 2k

若k＝5，n＝

42，则放大率为 33

综合以上结果，如鱼以速度v向上运动，则鱼的虚像以速度２v向上运动，而鱼的实像以速度

228

v向下运动。两个像的相对速度为２v＋v＝v， 333

是原有速度的倍。

我们还必须解决的最重要的问题是：从理论上已经知道了像是如何运动的，但是观察者

在做此实验时，他将看到什么现象呢？

两个像的速度与鱼的真实速度值，从水中的标尺上的读数来看，是一致的，实际上观察到两个反向的速度，其中一个是另一个的三倍，一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看，因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离8.33R。用肉眼看实像是可能的，只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者”，是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远，尽管有距离差，但所看到的速度将逐渐增加而接近

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