历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答(4)

-8

靠一根长导线经过外球的开孔接地。若外球带电量Q＝10C，求外

球电势（如图4.3）。

解：这里有两个电容，并联连接。其一由外球和内球组成，另一

由地与外球组成。由电容相加便可算出电势。 导体球相对远处地球的电容为

R9 22

，其中k＝9×10N m/C，Rk

①

为导体球半径。在空心球情形，如果内球接地，电容为：

111

k( )， 图4.3 CarR

所以：Ca

1Rr

kR r

R1Rr1R2

两个电容并联总电容为：C

kkR rkR r

把R＝0.2m，r＝0.1m，k＝9×10N m/C代入上式得：C＝44.4×10F＝44.4 pF 故外球相对与地球的电势为：U

①

9

2

2

-12

Q

＝225V C

（注：Ca是内外球组成的球形电容器的电容，与内球是否接地无关。）

【题4】在半径r＝2m、孔径d＝0.5m的凹面镜的焦点位置上，放一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都

能达到该圆形屏幕。试求圆形屏幕的直径。

如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到

仅由原来的1/8，问有多少部分的光能达

到在同样位置的屏幕上？ 解：我们只有采用较精确形式的反射定律，通过利用某些数学近似来求解本题。 按照教科书中通常的理论推导，半径PO＝R的凹面镜的焦点位于距离R的中点F处。我们用h表示凹面镜孔径之半。在P点的入射光线与半径的夹角为 ，反射后

与轴交于F1点。OP F1是等腰三角形。 图

则：OF1

R

2cos

RRR

(se c 1)

2co s22

故实际焦点与理论距离的偏差为 FF

1 OF1 OF

我们把圆形屏放在点F处，要求出屏幕的最小半径值x。在直角三角形P F F1中，应用通常的小角近似，得：x F1Ftan2 F1Fsin2 F1F

2hR2h

(sec 1) h(sec 1) R2R

1 2

对于小角度：cos 1 ，故sec 1

2cos 2

2

h3h

将 代入，得焦“斑”的半径为x 2

R2R

将数值：h＝50/2＝25cm；R＝200cm，代入

即得：x＝0.195cm＝1.95mm

再看问题的第二部分。如果圆形屏的半径为x，则入射到凹面镜的光束半径为

h 2R2x

如果我们用半径kx的屏代替半径为x的屏，则入射光束的半径为：

2 hk 2Rkx

入射光的量正比于hk，因此

22222

hk (2Rkx) hk

2

本题情形是k

11，由此得出，落在圆形屏幕上光的量将是前者的 84

【实验题】桌上有三个装在支架上的透镜，一块有几何图形的屏，一支杆和一把卷尺。

仅用所给的工具，以不同的方法测定透镜的焦距。

解答：有几种可能的方法。在凸透镜情形，我们用目视观查虚像的消失，并测定透镜的距离。

我们注视着实像，借助于视差把杆放在实像的位置上，测量物距和像距，从而计算出焦距。

再看凹透镜情形。我们把凹透镜与一个强会聚的凸透镜密接在一起，并用上述方法之一测量系统的焦距，然后算出凹透的焦距。

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第5届

（1971年于保加利亚的索菲亚）

【题1】质量为m1和m2的物体挂在绳子的两端，绳子跨过双斜面顶部的滑轮，如图5.1。斜面质量为m，与水平面的夹角为 1和 2。

整个系

统初态静止。求放开后斜面的加速度和物体的加速度。斜面保持静止的条件是什么？摩擦可以忽略。

解：我们用a表示双斜面在惯性参照系中的加速度（正号表示向右的方向）。用a0表示物体相对斜面的加速度（正号表示左边物体m 下降）两个物体在惯性系中的加速度a1和a2可由矢量a和a0相加得到（如解 图5.1 图5.1）。用F表示绳子中的张力。 对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律。2使物体m1加速下降的力是 m1gsin 1－F

在惯性系中，沿斜面方向的加速度分量为 a0－acos 1

所以，对此斜面分量，牛顿第二定律为： 解图5.1

m1（a0－acos 1）＝m1gsin 1－F 同样，对于m2有

m2（a0－acos 2）＝F－m2gsin 2 两式相加：（m1cos 1＋m2cos 2）a＝（m1＋m2）a0－（m1sin 1－m2sin 2）g （1）

我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。 斜面在惯性系中的速度为v（向右）。物体相对斜面的速度为v0。故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平分量（向左）分别为：v0 cos 1－v 和 v0 cos 2－v

利用动量守恒原理：m1（v0 cos 1－v）＋m2（v0 cos 2－v）＝m v 对匀加速运动，速度与加速度成正比，因此有：m1（a0 cos 1－a）＋m2（a0 cos 2

－a）＝m a

所以a

m1cos 1 m2cos 2

a0 （2）

m m1 m2

上式给出了有关加速度的信息。很明显，只有当两物体都静止，即两个物体平衡时，斜面才静止，这是动量守恒原理的自然结果。 由方程（1）和（2），可得到加速度为： a０

(m m1 m2)(m1sin 1 m2sin 2)

g 2

(m1 m2)(m m1 m2) (m1cos 1 m2cos 2)

a

(m1cos 1 m2cos 2)(m1sin 1 m2sin 2)

g

(m1 m2)(m m1 m2) (m1cos 1 m2cos 2)2

1

如果m1sin ＝m2sin 2

即

m1sin 2

m2sin 1

则两个加速度均为零。

【题2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气，在圆筒内有空气。第一步，水银柱高度h1＝70cm，空气压强pk1＝1.314atm＝133.4kPa＝100cmHg，

温度为0C＝273K。第二步，向上提升活塞，直至水银柱高度降为h2＝40cm，这时空气压强为pk2＝0.79atm＝80kPa＝60cmHg。第三步，保持体积不变，提高温度到T3，此时水银柱的高度为h3＝50cm。最后，第四步，温度为T4，水银柱的高度为h4＝45cm，空气压强没有改变。求出最后一步中氢气的温度和压强。

解：我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用L表示。为了简单起见，我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积。压强全部用cmHg为单位给出（见解图5.2第一步至第四步）。

L

70cm40cm50cm45cm

次 数 1 2 3 4 氢气压强 ph1 ph2 ph3 ph4 氢气体积 V h1 V h2 V h3 V h4 空气压强 100cmHg 60cmHg pk3 ＝ pk4 空气体积 V k1 V k2 ＝ V k3 V k4 两者温度 273K 273K T3 T4 解图5.2 从第一步到第二步，对氢气应用玻意耳定律：（L－70）（100－70）＝（L－40）（60－40）

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