历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答(2)

同理，若液体温度为t2时的体积为V2，则在0C时的体积为 V20

V2

1 t2

如果液体在0C时的密度为d，则质量分别为 m1＝V10d m2＝V20d

混合后，液体的温度为 t

m1t1 m2t2

m1 m2

在该温度下的体积分别为V10（１＋βt）和V20（１＋βt）。所以混合后的体积之和为

V10（１＋βt）＋V20（１＋βt）＝V10＋V20＋β（V10＋V20）t ＝ V10＋V20＋β

m1 m2m1t1 m2t2

dm1 m2

＝ V10＋V20＋β（

m1t1m2t2

）

dd

＝V10＋βV10t1＋V20＋βV20t2＝V10（１＋βt1）＋V20（１＋βt2）

＝V1＋V2

3

体积之和不变，在本题仍为410 cm。当把多杯甲苯不断地加入进行混合，对任何数量

的甲苯这个结果都成立。

【题3】光线在垂直玻璃半圆柱体轴的平面内，以45角射

在半圆柱体的平面上（如右图），玻璃的折射率为2。试 问光线在何处离开圆柱体表面？

解：用角度Ψ描述光线在玻璃半圆柱体内 的位置如解图2.3所示。按照折射定律：

sin450

2

sin

得：sin ＝ ， ＝30

所有折射光线与垂直线的夹角均为

00

30，有必要研究一下，当Ψ角从0增至0

180的过程中发生了什么现象。

不难看出，Ψ角不可能小于60。

光线从玻璃射向空气全反射的临界角由解图3.2

sin t

12

n2

求出： t＝45，

0000

则：Ψt＝180―60―45＝75

如果Ψ角大于75，光线将离开圆柱体。随着Ψ角的增加，光线将再次发生全反射，

0000

此时Ψt＝90＋30＋45＝165

0000

故当：75＜Ψ＜165时光线离开圆柱体。出射光线的圆弧所对应的圆心角为165―75

＝90。

【实验题】参加者每人领取三个封闭的盒子，每个盒上有两个插孔。不许打开盒子，试确定盒中元件的种类，并测定其特性。可供使用的是，内阻和精度已知交流和直流仪器，以及交流电源（频率50 HZ）和直流电源。

解：在任何一对插孔中都测不到电压，因此，盒子都不含有电源 先用交流，再用直流测电阻，有一盒给出相同的结果。结论是：该盒包含一个简单电阻，

其阻值由测量确定。

另一盒有极大的直流电阻，但对交流来说是导体。结论是：该盒包含一个电容，其电容

值由C

1

算得。 R

第三个盒子对交流和直流都是导体，而交流电阻较大。结论是：该盒包含一个电阻和电

感，两者串联。电阻和电感值可从测量中算得。

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第3届

（1969年于捷克斯洛伐克的布尔诺）

【题1】右图的力学系统由三辆车组成，质量分别为mA＝0.3kg，mB＝0.2kg，mC＝1.5kg。 （a）沿水平方向作用于C车的力F很大。使A、B两车相对C车保持静止。求力F及绳子的张力。

（b）C车静止，求A、B两车的加速度及绳子的张力。

（忽略阻力和摩擦力，忽略滑轮和车轮的转动惯量）

解：（a）A、B两车相对C车保持静止，A车在竖直方向没有加速度，因此它对绳的拉力为mAg。这个力使B车得到加速度aB

mA

g。又三车系统以相同的加速度运动，则： mB

F (mA mB mC)

mA

g mB

2

由给定的数值得：aB＝aC＝aA＝1.5g＝14.7m/s 绳中的张力为：T＝mAg＝2.94N 水平推力为：F＝29.4N

（b）如果C车静止，则力mAg使质量mA＋mB加速，加速度为：

aAB

mAg

＝0.6g＝5.88N

mA mB

/

绳中的张力为：T＝mAg－mA×0.6g＝1.176N

【题2】在质量为m1的铜量热器中装有质量为m2的水，共同的温度为t12；一块质量为m3、温度为t3的冰投入量热器中（如右图所示）。试求出在各种可m3c3t3能情形下的最终温度。计算中t3取负值。铜的比热c1＝

00

0.1kcal/kg·C，水的比热c2＝1kcal/kg·C，冰的比热c3＝

0.5kcal/kg·C，冰的熔解热L＝80kcal/kg。

解：可能存在三种不同的终态：（a）只有冰；（b）冰水共存；

（c）只有水。

（a）冰温度升高，但没有熔化，达到某一（负）温度ta； 放出的热量和吸收的热量相等：

c3 m3（ta－t3）＝（c1 m1＋c2 m2）（t12－ta）＋m2L

得出最终的温度为ta

(m1c1 m2c2)t12 m3c3t3 m2L

（1）

m1c1 m2c3 m3c3

情况（a）的条件是ta＜０（注：指0C），如果上式的分子为负值，我们得到下列条件： （c1 m1＋c2 m2）t12＜―c3 m3t3―m2L （2）

（c）现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为tc，冰块吸收的热量等于量热器和水放出的热量：c3 m3（0－t3）＋m3 L＋c2 m3tc＝（c1 m1＋c2 m2）（t12－tc） 得出最终的温度为tc (m1c1 m2c2)t12 m3c3t3 m3L （3）

m1c1 m2c2 m3c2这种情况只有在tc＞０时才能发生。取上式的分子为正值，得到下列条件： （c1 m1＋c2 m2）t12＞―c3 m3t3＋m3L （4）

（b）冰水共存这种情况是冰和水混合后都以0C共存于量热器中。根据（2）式和（4）

式，条件为：―c3 m3t3―m2L＜（c1 m1＋c2 m2）t12＜―c3 m3t3＋m3L

如果混合后有x克冰熔化了，则―c3 m3t3＋x L＝（c1 m1＋c2 m2）t12

(m1c1 m2c2)t12 m3c3t3

L

于是混合后，在量热器中有质量为（m3―x）的冰和质量为（m2＋x）的水。x为负值意

故冰熔化了的质量为x

味着有水结为冰，冰的质量增加。对于给定的数值，我们可以从公式容易得到最终的结果。

【题3】在竖直平面内有半径R＝5cm的线圈（如图）。质量m＝1g的小球系在长度为l的绝缘轻绳上，从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球-8

两者都带有Q＝9×10C的相同电量时，发现小球在垂

直线圈平面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。 解：如果线圈上的全部电荷集中与一点，则库仑力

Q2

为F k2

l

线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为 ，它们在轴上的投影为Fn＝Fcos 。小球的重量为mg。由上图可得：sin mg R mg

FlQ2

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