第二节 正项级数203-3-22（修改讲稿）分解(6)

解: limnun?limn(n??n??nanna)?lim?a，

n??n?1n?1有根值判别法知

当0?a?1时，级数收敛；当a?1时，级数发散； 当a?1时，

nannn)?lim()

n??n??n?1n??n?111?lim??0 n??1e(1?)nn?nn级数?()发散.

n?1n?1综上所述：0?a?1时原级数收敛； a?1时原级数发散. limun?lim(例14 设un?cn?vn(n?1,2,?)，并且级数

?un?1?n与

?vn?1?n都收敛，证明 级数

?cn?1?n收敛.

证明 设wn?vn?un,tn?vn?cn(n?1,2,?) 则 wn?0,tn?0， 即级数

???wn?1?n与

?tn?1?n都是正项级数. 都收敛，所以级数

因为级数

?un?1n与

?vn?1n?wn?1?n收敛，

而由un?cn?vn(n?1,2,?)知tn?wn，所以 由正项级数比较判别法知级数

?tn?1n?n也收敛；而

?c??v??tnnn?1n?1n?1???n，且

?vn?1?收敛，

故 级数

?cn?1?n收敛.

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小结：

1．利用比较判别法时，注意运用常见不等式的放缩，用

??11n调和级数?、几何级数?aq、P?级数?p进

n?1n?1nn?1n?行判断.

2．利用比较的极限形式判别时注意运用等价无穷小进行转化.

3.对通项的指数为与n相关的放幂的级数可以考虑用根 值判别法与比值判别法.用比值判别法的特点是用自身 的相邻两项比值极限判定. 用根值判别法时注意通项开 方，但注意极限值与1比较大小.

课后记：存在问题：定理不熟悉，常用结论不熟悉，不

知从何下手去证明.

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