第二节 正项级数203-3-22（修改讲稿）分解(3)

?111?2）a?1时由un?且?发散可得

1?an2n?12原级数发散.

?111?3）0?a?1时由un?且?发散可得

1?an2n?12原级数发散.

【结论】当通过不等式的放缩较容易找到已知敛散性的级数时，可以选择比较判别法判断级数敛散性.注意利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、P－级数的敛散性非常熟悉.

2.[由p?级数得结论]： 设

?un?1?n为正项级数, 那么

?1① 若p?1, 且un?p, n?1,2,?, 则?un收敛;

nn?1?1② 若un?,n?1,2,?, 则?un发散.

nn?1练习：用比较判别法确定下列级数的敛散性:

111???? 357?1解 该级数为?,

2n?1n?1?111?由, 且?发散,知原级发散.

2n?12nn?12n11111????2?? (2)??251017n?1??1111?2,且?2收敛, 解 该级数为?2,由2n?1nn?1n?1n?1n(1)1?知原级数收敛. (3)

?ln(n?1)

n?1?1（由函数单调性知x?0?f(x)?x?ln(x?1)

11

?f?(x)?1?1?0 x?1所以函数f(x)单调递增，x?0时

f(x)?f(0)?0?ln(x＋）1

11解 因为ln(n?1)?n,所以?,

ln(n?1)n?1而调和级数?发散,由比较判别法可知原级数发散.

n?1n2222324????? (4)2341?33?35?37?3122()n?()n, 解 由于un?2n?133?22n是一个公比为的收敛几何级数， ()?33n?1所以由比较判别法可知原级数收敛. (5)

n?11113解 由??()2,

nnn?1nnn?1?n?1

13()2收敛, ?n?1n?知原级数收敛.

3．【定理7.3】(比较判别法的极限形式) 设

?un与?vn均为正项级数,若limn?1n?1n??un?l，则

n??vn（1）)当0?l???时,

?vn?1?与

?un?1?n有相同的敛散性.

(2)当l?0时,若

?vn?1??n收敛,则

?un?1??n也收敛； 也发散.

(3)当l???时,若

?vn?1n发散,则

?un?1n证明: (1) 当0?l???时,

12

由limun?l得

n??vnun?l?? vn对???0,?N?0s.t.n?N时有取??3lllu3llvn ，则 ?n?即vn?un?2222vn2由正项级数的比较判别法得

??3lvn，若?vn收敛, 则 ?un收敛. 由于un?2n?1n?1?l又因为vn?un， 从而 ?vn收敛；

2n?1?l同理若?vn发散，且vn?un

2n?1??3l??un发散.又un?vn??vn发散.

2n?1n?1故原结论成立. （2）当l?0时,

?un??，即un??vn，取??1 vnn则由un?vn且

?vn?1收敛知

?un?1?n收敛（比较判别法）.

（3）当l???时,由无穷大的概念知

?M?0,s.t.un?M?0?un?Mvn vn?vn?1?n发散?由正项级数的比较判别法得

?un?1?n发散.

例7 （1） 判别级数

?sinn?1?1的敛散性. n 13

1?11n解: ?limnsin?lim?1,?发散

n??nn??1n?1nn?1? 级数?sin发散.(p?1)

nn?1?1（2）?ln(1?)：

nn?1111n??,ln(1?)~,令vn?

nnn?1且?发散，可推出原级数发散. n＝1n?1（3）判别级数?ln(1?2)的敛散性.

nn?111ln(1?2)t?n2n???limln(1?t)?1, 解: ?limn??t?01t2n?1且 ?2是收敛的p?级数（p?2）

n?1n?1?级数?ln(1?2)收敛. (p?2?1).

nn?1?1sin（4）讨论级数解：令un???nn?1nn的敛散性.

1nnn,vn?u11，则 limn?lim?1

nn??n??nvnn?11且?发散?正项级数?发散.

nn?1nn?1nnan例8 判定级数?(a?0)的敛散性. 2nn?11?a? 14

?an1解 （1）当a?1时，?发散. ??2nn?11?an?121（2）当a?1时，令vn?n，

auna2n1??lim?lim?lim?1???

n??vn??1?a2nn??1n1?()2na?10?q??1）， 收敛（v?nan?1?an所以原级数?收敛. 2nn?11?aanan1????vn, 另证：令 un?2n2nn1?aaa?10?q??1）， 收敛（v?nan?1?an所以原级数 ? 收敛. 2nn?11?a（3）当0?a?1时，令vn?an，

?un1?lim?1???

n??vn??1?a2nn?1vn收敛（0?q??1）， ?an?1??liman所以原级数?收敛. 2n1?an?1anan??an?vn, 另证：令 un?2n1?a1??vn?1?n收敛（0?q?a?1），

?an所以 原级数?收敛. 2n1?an?1

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