提问： 若级数
?an?1?n与
?bn?1?n均发散,则级数
?(an?1?n?bn)必发散.（是否正确？）
提问：判断下列级数的敛散性:
(1)0.001?0.001?30.001???n0.001??
n4424344n?14?? (2)?2?3?4???(?1)55555n1357(3)?????
2468?(?1)n?n(6) 级数?
n?12n?1(7)
?(2n?1?1n?12n?n?1) 3?1发散. (注意limun?0) ?n??n?1n证明: 假设级数收敛于S,于是 lim(S2n?Sn)?S?S?0.
例3 证明调和级数
n??而另一方面
111 ????n?1n?22n111n1??????? n?nn?n2n2n21那么 0?lim(S2n?Sn)?,矛盾.
n??2?1故 调和级数?发散.（结论当定理使用）
n?1n?n例8 设级数?un的部分和为Sn?，判断级数
2n?1n?1S2n?Sn??un?1?n?2的敛散性.若级数收敛，求它的和.
1
例5 某合同规定从签约之日起，由甲方永不停止地每年支付给乙方300万元人民币.设利率为每年5％，分别以（1）年复利；（2）连续复利计算利息，则该合同的现值等于多少？
解：（1）以年复利计算利息，则第一笔付款的现值为3（百万元）（签约当天付）, 第二笔付款的现值为
33（百万元），第三笔付款的现值为
(1?0.05)1(1?0.05)2（百万元），……如此下去到永远，则总现值为
333 ??123(1?0.05)(1?0.05)(1?0.05)33??63. ?????n1(1?0.05)1?1.051（此为公比为q?的等比级数求和问题）
1?0.053?故按年复利计息甲方需存入约63百万元到银行，即可每年支付乙方300万元人民币到永远.
（2）若以连续复利计息，类似上述方法计算则甲方应存入银行总现值为
3?3e?0.05?3(e?0.05)2??n(e?0.05)n???3?61.5?0.051?e百万元人民币 即可每年支付乙方300万元人民币到永远.
（补充知识）连续复利 1.一年一个计息期的复利：
设年利率为r,贷款本金为A0,那么 一年后本利和为：A1?A0(1?r)；
两年后本利和为：A2?A0(1?r)；……………………
2k年后本利和为：Ak?A0(1?r)k.
2.一年n个计息期的复利：
2
设年利率为r,一年n个计息期,显然每期利率为
r, n若贷款本金为A0,那么,k年后本利和为：
rAk?A0(1?)kn.
n3.连续复利：即每时每刻计算复利.
设年利率为r,贷款本金为A0,让一年计息期的个数
n??,则 k年后本利和为：
??rknrnAk?limA0(1?)?limA0?(1?)r??A0ekr.
n??n??nn??这个数学模型在现实世界中应用很多，例如物体的冷却、细胞的繁殖、树木的生长、镭的衰变等.
例6 某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？ 解：设A0为发行时每份债券的价格,年利率为r?6.5%,
krk?10年后每份债券一次偿还本息Ak?1000元,
若以连续复利计算利息,则Ak?A0e, 即1000?A0e
10?0.065kr,
得A0?1000e?10?0.065?552.05(元).
§7.2 正项级数的审敛法
教学目的:掌握正项级数定义；熟练掌握正项级数敛散性
的常用判别法，灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.
重难点: 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合. 教学过程:
一、正项级数收敛的基本定理
3
1.【定义7.2】若级数
?un?1?n的各项un?0（n?1,2,3,?）, 则称级数
?un?1?n为正项级数.
显然，正项级数的部分和数列{Sn}是单调增加的， 即 S1?S2???Sn??
由数列极限存在准则知：若数列有上界，则它收敛； 否则它发散.
2.【定理7.1】(基本定理)正项级数
?un?1?n收敛?部分
和数列{Sn}有界. 且此时有Sn?S
说明：因un?0,于是Sn?Sn?1?un?Sn?1,可见{Sn}单调递增. 故
?un?1?n收敛 ?{Sn}收敛 ?{Sn}有界.
此时显然有Sn?S.
（注意：单调有界数列收敛）
二、比较判别法
1.【定理7.2】(比较判别法)设
?un?1?n与
?vn?1?n均为正项
级数, 且 un?cvn, (n?1,2,3,?, c是大于零的常数) 则 (1) (2)
?un?1n?1??vn?n收敛?发散??vn?1n?1??un?n收敛;
发散.
证明: 由条件知, 0?Sn?(1)
?u??cvkk?1k?1nnk?cTn, 那么
?vn?1?n收敛?{Tn}有界?{Sn}有界
4
? ?un收敛;
n?1??(2)
??vn发散.
n?1n?1??un发散?{Sn}无界?{Tn}无界
另证：若此与题设即
?vn?1?n?1?n收敛，由（1）证明知
?un?1?n必收敛，
?un发散矛盾，所以假设不成立，
?vn?1?n发散.
例1 判断调和级数 散性. 解：Sn?1??1111?1???????的敛?23nn?1n?111??????Sn?单调上升且无上界 23n1发散. ?nn?1?1111另： ??1???????
23nn?1n1111111?(1?)?(?)?(???)??
23456781111111??(?)?(???)?? 2448888?1111??????? 222n?12?1而级数?发散,由比较判别法知原级数发散.
n?12?1故
例2 (1)证明级数
?n?1n(n?1)是发散的.
5
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