第二节 正项级数203-3-22（修改讲稿）分解(5)

10n10n?0. 所以 级数?收敛, 于是limn??n!n?1n!2n?n!?0. （2）证明 limnn??n?2n?n!2n?n!证明：设有级数?，因为 un? nnnnn?1un?12n?1?(n?1)!nn又因为 ??lim?lim?nn?1n??un??(n?1)2?n!n22?lim??1， n??1e(1?)nn?2n?n!所以 级数 ? 收敛，于是 nnn?12n?n!limun?lim?0. nn??n??n?

例12 判定下列级数的敛散性（讨论题）

xn（1）?(x?0).

nn?1?xn?1u1?xlimn?x, 解：由于??limn?1?limn?n??un??xnn??n?1nn级数当0?x?1时收敛，当x?1时发散.

2nx?ncos3.（综合题） （2）?n2n?1nxncos23?n（cos2nx?1）， 解：由于

32n2n?n而级数?n满足

n?12

21

n?1n?1un?11n?112??lim?lim?lim?，

n??un??n2n2nn??2n?n所以级数 ?n 收敛，

n?12故 有正项级数的比较判别法知原级数收敛.

【结论】对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项的后一项与前相邻一项比值极限判定.但注意极限与1比较大小.

但必须注意：比值判别法对p?级数失效.

练习：用比值判别法(达朗贝尔法则)研究下列各级数 的敛散性: (1)

1357?2?3?4?? 2222解 该级数的一般项un?limun?1n??un2n?1,因为 n2(2n?1)?2n2n?11?limn?1?lim??1, n??2?(2n?1)n??4n?22所以该级数收敛.

111???? 2 !3 !4 !1解 该级数的一般项un?,因为

n !un !1limn?1?lim?lim?0?1, n??un??(n?1)!n?? n?1n(2)1?所以原级数收敛. (3)

?(2n?1) !n?1?1

解 该级数的一般项un?

1,因为

(2n?1) !22

limun?1(2n?1) ! ?limn??un??(2n?3)! n1 ?lim?0?1, n??(2n?2)(2n?3) 原级数收敛.

2222324????? (4)

1?22?33?44?52n解 该级数的一般项un?,因为

n?(n?1)un?12n?1n?(n?1) lim?lim?nn??un??(n?1)?(n?2)2n2n?lim?2?1, n??n?2故 原级数发散.

?1n（5）比值法判定：?收敛，?n发散，

！n?1nn?132n??ncos3

?n2n?1n?2n?ncos2?ncos3：u?3?n?v）收敛. （?nn2n2n2nn?1?u1nnn（6）?：则limn?1?lim(1?)=e>1则

n??un??n！n?1nn?nn?原级数?发散.

！n?1n四、根值判别法

?1.【定理7.5】(柯西判别法)设

?un?1?n为正项级数, 若

limnun??，则

n?? 23

(1)??1时, 级数

?un?1?n收敛；

(2)??1或????时,级数(3)??1时, 级数

?un?1?n发散；

?un?1?n可能收敛也可能发散.

证明: (1) ??1时, 对?? ?N,当n?N时,有nn1???0, 2un????,

1???1) 2nun?????r,

un?rn,(n?N,r?????由于

?rn?1?n收敛, 故级数

?un?1?收敛.

(2) ??1时, 对????12?0,

?N,当n?N时,有nun????,

nun???????n????12???12?1, un?1 (n?N)

发散.

n可见 limun?0. ?级数

?un?1?n(2)’ ????时, ?N,当n?N时,或 un?1,

同样 limun?0. ?级数

n??un?1,

?un?1?n发散.

(3) ??1时, 级数

??un?1?n可能收敛也可能发散.

?11例如: 级数?发散, 而级数?2收敛.

n?1nn?1n注意到这两个级数均有??1.

24

(limnn?limen??n??lnnn?limet???lntt?elntt???tlim?e1t???tlim?e0?1)

2.【结论】：对通项的指数为与n次幂相关的级数可以考虑用根植判别法.

例13 判别下列级数的敛散性

12(1?)nn （1）?3nn?11n2(1?)n， 解 令un?3n?121(1?)n(1?)nnnlimn?e?1， 因为limnun?limn??n??n??3n331n2)?(1?n所以 级数 ?收敛. n3n?1?nn（2）?()

2n?1n?1nn)，因为解 令un?(2n?1nnn1limnun?limn()?lim??1， n??n??n??2n?12n?12?nn所以 级数 ?()收敛.

n?12n?1（3） 判别级数

?(?1)nn?1?1?1?1??的敛散性. 2n?n??nn21?1?e解: 由于n|un|??1????1, 所以级数发散.

2?n?2?nan（4）判断级数?()(a?0)的敛散性.

n?1n?1

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