第二节 正项级数203-3-22（修改讲稿）分解(4)

an综上所述a?1时?发散， 2nn?11?a?ana?1时，?收敛. 2nn?11?a【结论】当n??时，级数的通项能与常用的等价无穷

?小挂钩，此时考虑用比较判别法的极限形式进行判定.但必须给出通项比值的极限（与无穷大比较）以及用于比较的已知级数.

利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念 x?0：x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~

ln(x?1)~ex?1，1?cosx~?12x 2n4.【推论】(p?极限法)设

?un?1为正项级数,且

limnun?l,

n??p(1)当p?1,0?l???时,级数(2)当p?1,0?l???时,级数

??un?1?n?1?n收敛; 发散.

?un（提示:设

?vn为正项级数,其中vn?n?1?1，利用比较判pn别法去证） 练习:

1(1?cos)的敛散性. ?nn?1?111解：n??时，1?cos?且收敛?22n2nn?12n?1??(1?cos)收敛.

nn?1 (1) 判别级数

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1： ?nnn?18?6111，vn?n， un?n?881?(3)n4??un11收敛. lim?1且?n收敛，推出?nnn??vn?18?6n＝18n?1(3)?:

n?1ln(n?1)11 提示 令 un?，vn?

nln(n?1)unx ?limn?lim?limn??vn??ln(1?n)x???ln(1?x)n?lim(1?x)??，

（2）

x????1发散?原级数发散. ?nn?1三、比值判别法

1.【定理7.4】(达朗贝尔判别法D?Alembert) 设

??un为正项级数,若limn?1?un?1?l,则

n??un收敛；

(1)l?1时, 级数

?un?1??n(2) l?1或l???时, 级数(3)l?1时, 级数

?un?1?n发散；

?un?1n可能收敛也可能发散.

证明: (1) l?1时, 对???0 ?N?0,当n?N时

有un?1u?l??，即n?1?l???r unun(取?适当的小, un?1?run(n?N,0?r?l???1)

17

uN?2?ruN?1,uN?3?ruN?2?r2uN?1,?,uN?m?rm?1uN?1,

由于

m?1?r?m?1收敛, 故收敛.

m?1??u?N?m收敛.

?级数

?un?1n(2) l?1时, 对???0, ?N?0, 当n?N时，有un?1?l??, unun?1?l???1（取?适当的小）, un?1?un,(n?N) un可见 limun?0. ?级数

n???un?1?n发散.

(2)’ l???时, ?N?0,当n?N时，或 un?1?un,

同样 limun?0. ?级数

n??un?1?1, un?un?1?n发散.

(3)l?1时, 级数

??un?1?n可能收敛也可能发散.

?11例如: 级数?发散, 而级数?2收敛.

n?1nn?1n注意到这两个级数均有l?1.

?1例如：判断级数?的敛散性.

n(n?1)n?1此题可以用部分和的极限判断；比较判别法判定；比较

的极限判定；但比值判别不能判定. 例9（1）(88.3) 讨论级数

(n?1)!的敛散性. ?n?1n?1n18

?

un?1(n?2)!nn?1解 由 lim ?lim?n??un??(n?1)n?2(n?1)!nnn?1n?2?lim()? n??n?1n?11n1?lim?()??1 知原级数收敛. n??1n?1e(1?)nn?nn（2）讨论级数?的敛散性.

n！n?1nn解 令un?

n！u1n由于 ??limn?1?lim(1?)?e?1，

n??un??nnnn故 ?发散.

n?1n！?(3) 判断级数

2nn!()的敛散性. ?nn?1n??2?解 令un?n!??，由比值判别法知

?n??2?(n?1)!?un?1n?1?????lim?limnn??un???2?nn!???n?22?lim??1 n??1e(1?)nn?2n故级数 ?n!()收敛.

nn?1(4)

n?1

?2nsinn?1??3n

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解 该级数的一般项 un?2sinn?3n，

sin且 n??时，所以

?3～n?3，sinn?3～n＋1?3n＋1

ulimn?1?limn??un??n2n?1?sin??3n?1?2lim3n?1?2?1,

n????3n2?sinn33n?故 原级数收敛. 例10 判别级数

1)n(2)u(2n?1)n(2)解: (1) 由于??limn?1?lim?, 1n??un??(2n?1)n(2?2)nn?1?(2n?1的敛散性.

此时无法判断.

n21 (2) 但 ?lim nun?lim??，1n??n??(2n?1)n(2)4故得知级数收敛.（p?级数判别法.）

11另解 令un?，又令vn?2，因为

n(2n?1)n(2)?un1112??lim?lim?n?，且?2收敛，

n??vn??2n(2n?1)4n?1nn?1故级数?收敛.

(2n?1)n(2)n?110n例11 （1）求lim.

n??n!10n解: 令 un?，由于

n!n?1un?110n!10, ??lim?lim?n?lim??01n??un?(?n?1)!10n?n??1n2 20

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