厦门大学网络教育2014-2015学年第一学期《线性代数》复习题答案(4)

22

X UY可将f化为标准形f y12 2y2，(1) 求a，b的值；(2) 求正交矩 by3

阵U。

221

21 ， 解：二次型的矩阵为A 2 11a

222

(1) 因为正交变换X UY可将f化为标准形f y1，所以矩阵A的特征值 2y2 by3

为 1,2,b，

由A E 0,A 2E 0,得a 1， 由tr(A) 1 2 b，得b 4；

(2) 当a 1时，对应特征值 1，解方程组(A E)X 0，可得η1 对应特征值2，解方程组(A 2E)X 0，可得η2

3

,

,

T3

，

6

,

12

6

,

T612

，

,0，

对应特征值 4，解方程组(A 4E)X 0，可得η3

,

T

1 3

U 因此，所求的正交矩阵为3 1 3

6. 取两个基

16626

.

0

122

x1 (1,2,1)T,x2 (2,3,3)T,x3 (3,7,1)T；y1 (3,1,4)T,y2 (5,2,1)T,y3 (1,1, 6)T，试求坐

标变换公式。

解 设 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)，

( 1, 2, 3) ( 1, 2, 3)A，( , , ) ( 1, 2, 3)A．

T

T

T

1

2

3

TTTTTTTTT

121 351

其中，A 237 ，B 121

131 41 6 x1 x1 B 1A x2 ， 坐标变换公式 x2 x x 3 3

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