反常积分的审敛法(8)

反常积分的审敛法

定理 4 (极限审敛法1)设函数 f ( x )在区间[a,+∞ ) (a> 0)上连续，且 f ( x )≥ 0.如果存在常数 p> 1,使得 lim x p f ( x )存在，x→+∞+∞

则∫

a

f ( x )dx收敛；x→+∞

如果 lim xf ( x )= d> 0 (或 lim xf ( x )=+∞ ),则x→+∞

∫

+∞

a

f ( x )dx发散.

证明

例2判别反常积分2

∫

+∞

dx x 1+ x2

1

的收敛性 .

1= 1, p= 2> 1解∵ lim x 2 x→+∞ x 1+ x

∴所给反常积分收敛. (极限审敛法1)

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