反常积分的审敛法(12)

反常积分的审敛法

定理 5设函数 f ( x )在区间[a,+∞ )上连续，如果∫+∞ a

f ( x ) dx收敛,则∫

+∞

a

f ( x )dx也收敛.

1证令 ( x)=[ f ( x)+ f ( x)] 2+∞∵ ( x )≥ 0,且 ( x )≤ f ( x ),又∫ f ( x ) dx收敛, a∴∫ ( x )dx也收敛 .∵ f ( x )= 2 ( x ) f ( x ),取t> aa+∞

∴∫ f ( x )dx= 2∫ ( x )dx ∫ f ( x ) dx,a a a

t

t

t

令t→+∞,得

∫

+∞

a

f ( x )dx= 2∫ ( x )dx ∫a+∞ a

+∞

+∞

a

f ( x ) dx .

∴∫

f ( x )dx收敛

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