选修1-1 第二章 《圆锥曲线复习》(5)

xy 所以③

9 2 是等轴双曲线 C 的方程 xy 9 2 的焦点 F1 、 F2 在直线 y x 上，所以双曲线的顶点也在直线 y x 上，

等轴双曲线

9 xy 3 3 3 3 3 3 3 3 2 9 9 , , xy xy 2 2 2 2 y x ,解得双曲线 ,所以双曲线 , 2 的两顶点坐标为 2 的实 联立方程 轴长为 6

xy (2) 所求问题即为：在双曲线

9 2 求一点 P ,使 PA PB 最小. xy 9 2 中第一象限的那一支上

首先，点 P 应该选择在等轴双曲线的

xy 等轴双曲线的

9 2 的长轴长为 6 ,所以其焦距为 6 2 xy 9 2 的一个焦

A 3,3 F F FF 又因为双曲线的两个焦点 1 、 2 在直线 y x 上，线段 1 2 的中点是原点，所以 是点， 设双曲线的另一个焦点为 所以 …… 7 分

F2 3, 3

,由双曲线的定义知：

PA PF2 6

PA PB PF2 6 PB

,要求

PA PB

的最小值，只需求

PF2 PB

的最小值

直线

BF2 的方程为 3x 4 y 3 0 ,所以直线 BF2 与双曲线

xy

3 9 3, 2 在第一象限的交点为 2

3 3, P 所以码头应在建点 2 处，才能使修建两条公路的总费用最低f x (3)①

3 3 1 1 x f x x 3 x x 0 0, 3 ,此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点 ；

y ② 渐近线是

1 3 3 1 3 y x x y x 3 x与 3 和 x 0 .当 x 0 时，当 x 无限增大时， x 无限趋近于 0 , 3 无限趋

近；当 y 无限增大时， x 无限趋近于 0 .

③ 双曲线的对称轴是 y 3x 和

y

3 x 3 .

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