学习k12精品高考数学(理科)大二轮复习练习：专题二 函数与导数(9)

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可知,φ(t)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.

所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+x1+x2≥1,因此x1+x 2或x1+x 2(舍去).

15.解(1)由题意f(π)=π2-2,

又f'(x)=2x-2sin x,所以f'(π)=2π,

因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.

(2)由题意得h(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),

因为h'(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)+e x(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)

=2e x(x-sin x)-2a(x-sin x)

=2(e x-a)(x-sin x),

令m(x)=x-sin x,则m'(x)=1-cos x≥0,

所以m(x)在R上单调递增.

因为m(0)=0,所以当x>0时,m(x)>0;

当x<0时,m(x)<0.

①当a≤0时,e x-a>0,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,

所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

②当a>0时,h'(x)=2(e x-e ln a)(x-sin x),由h'(x)=0得x1=ln a,x2=0.

(ⅰ)当0<a<1时,ln a<0,当x∈(-∞,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;

当x∈(ln a,0)时,e x-e ln a>0,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.

所以当x=ln a时h(x)取到极大值.

极大值为h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],

当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

(ⅱ)当a=1时,ln a=0,所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,无极值;

(ⅲ)当a>1时,ln a>0,所以当x∈(-∞,0)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;

当x∈(0,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(ln a,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.

所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;

当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].

综上所述:

当a≤0时,h(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

当0<a<1时,函数h(x)在区间(-∞,ln a)和区间(0,+∞)上单调递增,在区间(ln a,0)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],极小值是h(0)=-2a-1;

当a=1时,函数h(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,无极值;

当a>1时,函数h(x)在区间(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在区间(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].

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