学习k12精品高考数学(理科)大二轮复习练习：专题二 函数与导数(4)

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专题能力训练7 导数与函数的单调性、极值、最值

一、能力突破训练

1.D 解析 因为f'(x )=af'(1)+,所以f'(1)=af'(1)+1,易知a ≠1,则f'(1)=

,所以f'(x )=又因为f'=0,所以+2=0,解得a=2.故选D.

2.D 解析 设导函数y=f'(x )的三个零点分别为x 1, x 2,x 3,且x 1<0<x 2<x

3.

所以在区间(-∞,x 1)和(x 2,x 3)上,f'(x )<0,f (x )是减函数,

在区间(x 1,x 2)和(x 3,+∞)上,f'(x )>0,f (x )是增函数,

所以函数y=f (x )的图象可能为D,故选D .

3.C 解析 构造函数F (x )=f (x )-kx ,

则F'(x )=f'(x )-k>0,

∴函数F (x )在R 上为单调递增函数.

>0,∴F >F (0).

∵F (0)=f (0)=-1,∴f >-1,

即f -1=,∴f ,故C 错误.

4.C 解析 依题意得f'(x )=3ax 2+2bx+c ≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-

,-2×3=,则

b=-,c=-18a.

函数f (x )在x=3处取得极小值,于是有f (3)=27a+9b+3c-34=-115,

则-a=-81,解得a=2.故选C.

5.-3 解析 设f (x )=(ax+1)e x ,

可得f'(x )=a·e x +(ax+1)e x =(ax+a+1)e x ,

∴f (x )=(ax+1)e x 在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.

6.3x-y-2=0 解析 y'=3x 2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=-1时,y'min =3;当x=-1时,y=-5.

故切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.

7.解 (1)f'(x )=a e x -

当f'(x )>0,即x>-ln a 时,f (x )在区间(-ln a ,+∞)内单调递增;

当f'(x )<0,即x<-ln a 时,f (x )在区间(-∞,-ln a )内单调递减.

①当0<a<1时,-ln a>0,f (x )在区间(0,-ln a )内单调递减,在区间(-ln a ,+∞)内单调递增,从而f (x )在区间[0,+∞)内的最小值为f (-ln a )=2+b ;

②当a ≥1时,-ln a ≤0,f (x )在区间[0,+∞)内单调递增,

从而f (x )在区间[0,+∞)内的最小值为f (0)=a++b.

(2)依题意f'(2)=a e 2-

,解得a e 2=2或a e 2=-(舍去). 所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=故a=

,b=

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