第3节 应变张量(5)

ejk=

1

δjk (δij ui,j)(δik ui,k)2 (3.12b) 1

=(uj,k+uk,j ui,jui,k)2

[]

即

e=ejkejek

222

u11 u1 u2 u3 + +

x12 x1 x1 x1

1 u u u u u u u u 2+1 11+22+33 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

1 u3 u1 u1 u1 u2 u2 u3 u3

+++

2 x x x x x x x1 x3 3 1313 1

1 u2 u1 u1 u1 u2 u2 u3 u3

+++

2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

222

u21 u1 u2 u3

+ + x22 x2 x2 x2

1 u3 u2 u1 u1 u2 u2 u3 u3 +++

2 x2 x3 x2 x3 x2 x3 x2 x3

1 u3 u1 u1 u1 u2 u2 u3 u3

+++

2 x1 x3 x1 x3 x1 x3 x1 x3

1 u3 u2 u1 u1 u2 u2 u3 u3

+++

2 x2 x3 x2 x3 x2 x3 x2 x3

222

u31 u1 u2 u3

+ + x32 x3 x3 x3

前面导出的应变张量EJK、ejk都是从数学的角度定义的，其分量没有直接的几何意义。因此，为了便于应用，须将EJK、ejk与有直接几何意义的工程应变EXI和exj联系起来。 例3.2 有一细杆处于均匀的拉伸状态，其变形前后可描述为：x1=kX1；x2=X2；x3=X3；

其中k为均匀拉伸的比例常数。试计算它的Green应变、Almansi应变、工程应变、以及Euler描述的伸长度。

解 由

dx1=kdX1

(1) 变形梯度为

dx2=dX2dx3=dX3

xi

F=(FiJ)= X

J

(2) 显然FT=F；由式(3.58)，所以有B=C ，即

k00

= 010 001

00

10 01

2

k00 k00 k T

B=C=FF=FF= 010 010 = 0

001 001 0

(3) 由式(3.59a)，Green应变张量E

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