第3节 应变张量(3)

dS2 dS02

dxjdxkδjk

XI XI

dxjdxk

xj xk

dxdx=2ejkdxjdxk jk

XI XI=δ = jk xj xk

==

其中

(3.7)

ejk

XI XI 1

(3.8) δ jk 2 xj xk

式中，ejk称为Euler描述下的Almansi应变张量，显然，ejk=ekj，故ejk也是二阶对称张量。

令 e=ejkejek

则

1

dS2 dS02)=ejkdxjdxk=dx e dx (2

将应变张量用矩阵表示，有

1T

(FF I)21=e=I (FFT) 12E=

[]

(3.9)

引入符号C、B

C=FTF

由于

B=FFT

=

C=FTF=UTRTRU=UTU=U2B=FF=VRRV=VV=V

T

T

T

T

2

所以，称C为右应变张量，B为左应变张量，U、V为伸长张量，于是

CIJBij

故有

FkIFkJFiKFjK

xk xk XI XJ

(3.10)

xi xj XK XK 1

(CIJ δIJ) (3.11a) 2

EIJ=eij=

1 1(δij Bij) (3.11b) 2

当两种构形的坐标系重合时，物质坐标与空间坐标存在以下正逆函数关系：

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