第3节 应变张量(2)

描述，由Green首先引入，导出的应变张量是物质坐标的函数，故称Green应变张量。

由Lagrange描述，将dxi的表达式代入到dS2表达式有

(dS)

令

2

2

=

xi xi

dXJdXK

XJ XK

2

(dS)

其中=

(dS0)=2EJKdXJdXK (3.4)

EJK=

式中，EJK称为Green应变张量。

令

1 xi xi

δJK (3.5) 2 XJ XK

E=EJKeJeK

则有

1

(dS2 dS02)=dX E dX 2

由于上式左端是标量，而dX是任意矢量，根据商判别，E是二阶张量。E是对称的，可由定义及δIJ的对称性得出，即

EKJ=

即

1 xi xi δKJ 2 XK XJ 1 xi xi

= δJK =EJK (3.6) 2 X X

K J

x1 x1 x2 x2 x3 x3

++

X1 X3 X1 X3 X1 X3

x1 x1 x2 x2 x3 x3

++

X3 X2 X3 X2 X3 X2

222 x1 x2 x3 + + XX 3 3 X3

E

x 2 x 2 x 2

1 + 2 + 3 X1 X1 X1

1 x1 x1 x2 x2 x3 x3

++

2 X1 X2 X1 X2 X1 X2

x1 x1+ x2 x2+ x3 x3 X1 X3 X1 X3 X1 X3

x1 x1 x2 x2 x3 x3

++

X1 X2 X1 X2 X1 X2 x1 x2 x3 + + XX 2 2 X2

2

2

2

x1 x1 x2 x2 x3 x3

++

X3 X2 X3 X2 X3 X2

1 I21T

(FF I) 2

2. Almansi应变张量

另一种是以变形后的变形构形为基准，然后确定与初始构形间的相对变形。这种方法定义于变形构形，采用Euler描述。由Almansi引入，导出的应变张量是空间坐标的函数，故称为Almansi应变张量。

由

Euler

描述，利用式

(dS)

2

=dX dX=dXIdXI=dXJdXKδJK、

(dS)

2

=dx dx=dxidxi=dxjdxkδjk、dxi=

xi XI

dxj，有 dXJ和dXI= xj XJ

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