第3节 应变张量

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=§ 3 应变张量

1. Green应变张量

连续介质发生变形时，其体内点与点之间的相对位置发生了变化，导致整个连续介质的体积或形状发生变化。这种变化可利用两种构形上对应点的距离变化求得。取图3.1坐标M点为初始构形中的任意点，其位矢为X，N是初始构形中M点邻域内的另一个点，线元MN用dX表示，dX1、dX2和dX3是dX在物质坐标上的三个正交分量，也是体元的三个棱边。变形后，M点移到M*点，N点移动到N*点，M*N*用dx表示，M*点的位矢为x，以dXI (I=1, 2, 3)为棱边的正六面体体元变形后变为曲六面体，其三个棱边不再两两正交。线元MN变形为M*N*

包含着长度的变化和方向的改变，这是描述物体变形的关键量。

图3.1

从图3.1可以看到，变形前矢径OM=X=XJeJ，线元为MN=dX=dXIeI，变形后，相应的矢径和线元为OM=x=xiei,MN=dx=dxiei。

变形前，线元MN的长度平方为

*

*

*

(dS0)=dX dX=dXIdXI=dXJdXKδJK （I, J, K为哑标） (3.1)

2

变形后，线元M*N*的长度平方为

(dS)

2

=dx dx=dxidxi=dxjdxkδjk （i, j, k为哑标） (3.2)

根据对应关系，由

dxi

xi

dXJ

XJ

dXI

XI

dxj (3.3) xj

便可建立初始构形和变形构形的相对变形。常用两种方式定义：一种是以变形前的初始构形为基准，然后确定它与变形构形间的相对变形。这种方法定义于初始构形，采用Lagrange

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