第3节 应变张量(4)

xi=XI+UI,XI=xi ui

在物质坐标系上，位移函数UI是物质坐标的函数，故物体变形后的位置x为

xi=XI+UI(X1,X2,X3)

在空间坐标上，位移函数ui是空间坐标的函数，物体变形前的位置X由空间坐标表示，即

XI=xi ui(x1,x2,x3)

对上两式分别求偏导数，有

xi

=δIJ+UI,J=FiJ

XJ

XI

=δij ui,j=FI j1

xj

将上式分别代入EJK和ejk表达式，得到笛卡儿坐标系下由位移表示的：

Green应变张量

EJK=

1(δIJ+UI,J)(δIK+UI,K) δJK2 (3.12a) 1

=(UJ,K+UK,J+UI,JUI,K)2

[]

即

E=EJKeJeK

222

U11 U1 U2 U3 + + +

X12 X1 X1 X1

1 U U U U1 U2 U2 U3 2+1 +1++ 2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1

1 U3 U1 U1 U1 U2 U2 U3

+++ +

2XXXXXX X13 1313 1

1 U2 U1 U1 U1 U2 U2 U3 U3

+++ +

2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2

U3

X2 U3

X3

222

U21 U1 U2 U3

+ + + X22 X2 X2 X2

1 U3 U2 U1 U1 U2 U2 U3 U3 +++ +

2 X2 X3 X2 X3 X2 X3 X2 X3

1 U3 U1 U1 U1 U2 U2 U3 U3

+++ +

2 X1 X3 X1 X3 X1 X3 X1 X3

1 U3 U2 U1 U1 U2 U2 U3 U3

+++ +

2 X2 X3 X2 X3 X2 X3 X2 X3

222

U31 U1 U2 U3

+ + + X32 X3 X3 X3

Almansi应变张量

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