江苏省常州市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题含答案

常州市教育学会学业水平监测

高三数学Ⅰ试题

参考公式：

圆锥的体积公式：V圆锥=1Sh，其中S是圆锥的底面积，h是高. 321n1n2样本数据x1，x2，???，xn的方差s??(xi?x)，其中x??xi.

ni?1ni?1一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 请把答案填写在答题卡．．．相应位置上. ．．．．．

21.若集合A?{?2,0,1}，B?{xx?1}，则集合A?B?▲.

2命题“?x?[0,1]，x2?1?0”是▲命题（选填“真”或“假”）. 3.若复数z满足z?2i?z?1（其中i为虚数单位），则z?▲.

4.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为

5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲.

2

1的定义域记作集合D，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每lnx个面上分别标有点数1，2，???，6），记骰子向上的点数为t，则事件“t?D”的概率为▲.

6.函数f(x)?7.已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则

该圆台的高为▲.

8.各项均为正数的等比数列?an?中，若a2a3a4?a2?a3?a4，则a3的最小值为▲. x2y29.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x?y?1?0与双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)ab的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是▲.

?x?y?0,?10.已知实数x，y满足?2x?y?2?0,则x?y的取值范围是▲.

?x?2y?4?0,?11.已知函数f(x)?bx?lnx，其中b?R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y?f(x)相切，则k?b的值为▲.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y?sin(?x??)(??0,0????)的图像与x轴的交点A，B，C满足OA?OC?2OB，则??▲.

13.在?ABC中，AB?5，AC?7，BC?3，P为?ABC内一点（含边界），若满足

????1????????????????BP?BA??BC(??R)，则BA?BP的取值范围为▲．

414.已知?ABC中，AB?AC?3，?ABC所在平面内存在点P使得

PB2?PC2?3PA2?3，则?ABC面积的最大值为▲．

二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应．．．．．．．写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知?ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，3bsinC?ccosB+c， （1）求角B； （2）若b2?ac，求

11?的值. tanAtanC16.如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是平行四边形，PC?平面ABCD，PB?PD，点Q是棱PC上异于P、C的一点.

（1）求证：BD?AC；

（2）过点Q和的AD平面截四棱锥得到截面ADQF（点F在棱PB上），求证：QF//BC. 17.已知小明（如图中AB所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O.点光源从M发出，小明在地上的影子记作AB'.

（1）小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积； （2）若OA?3米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1，?OAA1??3，且

AA1?10米.t秒时，小明在地面上的影子长度记为f(t)（单位:米），求f(t)的表达式与最

小值.

x2y218.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，点Aab是椭圆的左顶点，过原点的直线MN与椭圆交于M，N两点（M在第三象限），与椭圆的

?????????42右准线交于P点.已知AM?MN，且OA?OM?b.

3

（1）求椭圆C的离心率e； （2）若S?AMN?S?POE?10a，求椭圆C的标准方程. 319.已知各项均为正数的无穷数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1?a（其中a为常数），

22an?an?1nSn?1?(n?1)Sn?n(n?1)(n?N).数列{bn}满足bn?(n?N*).

anan?1*（1）证明数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；

（2）若无穷等比数列{cn}满足：对任意的n?N*，数列{bn}中总存在两个不同的项bs，

bt(s,t?N*)使得bs?cn?bt，求{cn}的公比q.

20.已知函数f(x)?lnxa2，其中为常数.

(x?a)（1）若a?0，求函数f(x)的极值；

（2）若函数f(x)在(0,?a)上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）若a??1，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0，求证：f(x0)??2.

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数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】在A、B、C、D四小题只能选做两题，每小题10分，共计20分.请．．．．．．在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．．．．．

A.选修4-1：几何证明选讲

在?ABC中，N是边AC上一点，且CN?2AN，AB与?NBC的外接圆相切，求

BC的BN值.

B.选修4-2：矩阵与变换

?42?已知矩阵A???不存在逆矩阵，求：

a1??（1）实数a的值；（2）矩阵A的特征向量. C.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的

?x?2cos??1?参数方程为?（?为参数），直线l的极坐标方程为?sin(??)?2，直线l4?y?2sin?与曲线C交于M，N两点，求MN的长. D.选修4-5：不等式选讲

a3?b3已知a?0，b?0，求证:2?ab. a?b2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作．．．．．．．答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.已知正四棱锥P?ABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量?的值：

若这两条棱所在的直线相交，则?的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则??0；

若这两条棱所在的直线异面，则?的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). （1）求P(??0)的值；

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