最优化计算方法-第2章（基本理论） - 图文(4)

7 方向导数与最速下降方向设有单位向量

h?(h,h,?,h)?RTn可微函数f(x)12n在x点沿h方向的方向导数定义为

?f(x)f(x??h)?f(x?h??lim)?0??T??f(x)(?h)?o(||?h||)?lim?0????f(x)Th??limo(||?h||)?0????f(x)Th?||?f(x)||cos(?f(x),h)hx??hx16

对于方向导数有以下的结论：

?f(x)（1）若?0，则h为f(x)在点的上升方向?h?f(x)（2）若?0，则h为f(x)在点的下降方向?h?f(x)?0（3）若?f(x)?0则对任何方向h，有

?h（4）若?f(x)?0，则

?f(x)?f(x)?f(x)当h?时，取得最大值，此时?||?f(x)||||?f(x)||?h?h?f(x)?f(x)?f(x)当h??时,取得最小值,此时??||?f(x)||||?f(x)||?h?h17

由此可知：

xf(x)在点处函数值增加最快的方向，?f(x)方向为（1）

称为函数f(x)在点x处的最速上升方向；

??f(x)方向为f(x)在点x处函数值减少最快的方向，（2）

称为函数f(x)在点x处的最速下降方向；

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8、等高线

定义设有二元函数

z?f(x,y)，若令f(x,y)?c它代表函数值为C的点连成的曲线，故将曲线f(x,y)?c称为二元函数z?f(x,y)的等高线或等值线。

性质：

（1）二次函数在极值点附近的等高线是准确的同心椭圆族，极值点正好是椭圆的共同中心。

非二次函数在极值点附近的等高线是近似的同心椭圆族，极值点正好是椭圆的共同中心。

因此求函数的极值，从几何上来讲，就是求等高线族中同心椭圆组的共同中心。

（2）函数在某点的梯度方向与过该点等高线在该点的切线垂直。

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§2.2 优化问题的最优性条件

1. 无约束优化问题minf(x),x?Rn定理2.1 (一阶必要条件)（1）函数f(x)在x一次可微；

(2) x为f(x)的局部极值点，则?f(x)?02.2. (充分条件)1）函数f(x)在x二次可微；2）

?f(x)?03）Hesse矩阵?2f(x)?0（?2f(x)?0）。则

x为的严格局部极小值点（极大值）

20

定理（（（

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