基于ANSYS的齿轮静力学分析及模态分析(6)

基于ANSYS的齿轮模态分析

的结果具有较大的裕度。

第五章 齿轮模态的有限元分析

5.1 模态分析的必要性

一般来说静力分析也许能够确保一个结构可以承受稳定载荷的条件，但是这些远远不够。模态分析用于确定设计结构振动的固有特性，即结构的固有频率和主振型，它们是动态载荷结构设计中的重要参数。同时，也可以作为其它动力学分析的起点，例如动力学分析、谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程[18]。齿轮传动是最重要的机械传动形式，在内部激励和外部激励作用下有可能发生机械振动，使整个系统发生严重破坏，无法估量的经济损失。为了避免这种情况发生，有必要对整个齿轮传动系统进行模态分析，求出固有频率和主振型。在进行结构设计时，使激振力的频率与系统的固有频率错开，可以有效的避免共振的发生。目前，进行模态分析最行之有效方法是有限元法，就是利用有限元法在有限元分析软件ANSYS中对齿轮副进行了模态分析。

在变速箱齿轮传动中有时齿轮的转速很高，这时就有必要对变速箱齿轮传动进行模态分析了。由于我们关心的是齿轮的固有振动频率，尽量防止出现齿轮的转速与其固有频率相同的状况。因为一旦外载荷与结构固有频率相同，必然发生共振，造成结构屈服。 5.2 齿轮的固有振动分析

齿轮副在啮合过程中，因为受到周期性冲击载荷的作用，产生振动的高频分量就是齿轮的固有振动频率。齿轮传动副的固有振动频率一般是指齿轮系统扭转振动的固有频率，齿轮系统的扭振主要是由轴的扭振和轮齿的弹性扭振组成。影响齿轮副固有频率的因素很多，如轮齿的刚度大小、齿轮副的大小、轴的刚度大小、润滑油膜厚度及各种阻尼等等[19]。近似可由下式计算：

f0?12?k （5-1） m式中，m 和k分别为齿轮的等效质量和刚度系数，其大小可以查阅相关手册或者根据经验而定。

齿轮振动固有频率范围一般为1KHZ~10 KHZ[20]，为了避免齿轮啮合时发生共振现象，必须精确地测出齿轮的固有振动频率，同时也为齿轮系统的故障诊断提供了一个重要参数。

5.3 模态分析理论基础

由弹性力学有限元法，可得齿轮系统的运动微分方程【21】为：

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齿轮模态的有限元分析

??}?[C]{X?}?[K]{X}?{F?t?} （5-2） [M]{X

式中，[M]，[C]，[K]分别为为齿轮质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；

??? {X} ，{X}，{X}分别为齿轮振动加速度向量、速度向量和位移向量，{X}?{x1,x2,...,xn}T；

{F?t?}为结构所受的激振力向量，{F?t?}?{f1,f2,...,fn}T。

将分析对象离散为有限个三维实体单元,分别求出每个单元的刚度矩阵[22]为：

[Kij]?[Bi][D][Bj]dv （5-3）

ve?T式中：

[D]——弹性矩阵

[Bi]，[Bj]——应力、应变关系矩阵

每个单元的质量矩阵为：

[Mij]??[Ni][Nj]dv （5-4）

ve?T式中：

[Ni]，

[Nj]——形函数矩阵

?——单元质量密度

和单元质量矩阵后,按照单元节点自由度与总

e[Kij][Mij]e体节点自由度的一一对应关系,将单元刚度矩阵和单元质量矩组集成结构的总体刚度矩阵[K]和总质量矩阵[M],如果节点上有附加质量块,则将它叠加到总体质量矩阵[M]所对应的节点自由度位置上,根据边界条件对总体刚度矩阵[K]和总质量矩阵[M]进行降阶,即得到给定边界条件下的总体刚度矩阵[K]和总质量矩阵[M]。在模态分析过程中,没有激振力的作用,取{F(t)=0},得到系统的自由振动方程。在求齿轮自由振动的频率和振型即求齿轮的固有频率和固有振型时，阻尼对它们影响不大，因此，阻尼项也可以略去，得到无阻尼自由振动的运动方程为：

???X} [M]{K[]X{?} 0 （5-5）

形成单元的单元刚度矩阵

[Kij]e[Mij]e其对应的特征值方程为：

([K]??i[M]){A}?0 （5-6）

2(i) - 23 -

基于ANSYS的齿轮模态分析

式中：?i为第i阶模态的固有频率,i=1,2…n；

(i){A}为与第i阶固有频率对应的主振型。

这时的振动系统一般存在着n个固有频率和n个主振型，每一对频率和振型代表一个单自由度系统的自由振动，这种在自由振动时结构所具有的基本振动特性称为结构的模态。多自由度系统的自由振动可以分解为n个单自由度的简谐振动的叠加，或者说系统的自由振动是n个固有模态振动的线性组合。这就意味着多自由度系统一般说来不是作某一固有频率的自由振动，而是作多个固有频率的简谐振动的合成振动[23]。 5.4 模态分析简介 5.4.1模态提取方法

无阻尼模态分析求解的基本方程是经典的特征值问题，有许多数值方法可用于求解上面的方程。ANSYS提供了7种模态提取方法：Block Lanczos(分块兰索斯法)、Subspace(子空间法)、Power Dynamics(动力源法)、Reduced(缩减法)、Unsymmetric(非对称法)、Damped(阻尼法)和QR Damped(QR阻尼法)[24]。采用何种模态提取方法主要取决于模型的大小(相对于计算机能力而言)和具体的应用场合。其中，前四种方法是最常用的模态提取方法。表5-1比较了这四种模态提取方法，并分别对各方法做了简要描述。

表5-1模态提取方法比较

模态提取方法 适用范围

Block 用于提取大模型的多阶模态(40阶以上)

Lanczos 建议在模型中包含形状较差的实体和壳单元时采用此法

最适合于由壳或壳与实体组成的模型 可以很好地处理刚体振型

速度快，但要求比子空间法内存多50%

Subspace 用于提取大模型的少数阶模态(40阶以下)

适合于较好的实体及壳单元组成的模型 在具有刚体振型时可能会出现收敛问题 可用内存有限时该法运行良好

建议在具有约束方程时不要用此方法

Power 用于提取大模型的少数阶模态(20阶以下)

Dynamics 适合于100K以上自由度模型的特征值快速求解

对于网格较粗的模型只能得到频率近似值 复频情况时可能遗漏模态

Reduced 用于提取小到中等模型(小于10K自由度)的所有模态

选取合适主自由度时可获取大模型的少数阶(40阶以下)模态，此时频率计算的精度取决于主自由度的选取。

内存要求 中 存贮要求 低

低 高

高 低

低 低

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齿轮模态的有限元分析

5.4.2模态分析的步骤

模态分析过程主要由四个步骤组成：建模、网格划分、加载及求解、扩展模态、查看结果和后处理。

(1)建模

建立有限元模型需要完成下列工作：首先指定工作名和分析标题，然后在前处理器(PREP7)中定义单元类型、单元实常数、材料性质以及几何模型，其中几何模型可以在ANSYS中直接建立也可以在其他CAD软件中生成后再导入ANSYS中。在模态分析中

只有线性行为是有效的，如果指定了非线性单元，它们将被当作是线性的。例如，如果模态分析中包含接触单元，那么系统取其初始状态的刚度值并且此刚度值不再改变。材料性质可以是线性的，各向同性的或正交各向异性的，恒定的或和温度相关的。在模态分析中必须指定弹性模量EX(或某种形式的刚度)和密度DENS(或某种形式的质量)，而非线性特性将被忽略。

(2)网格划分

网格划分是建模中非常重要的一个环节，它将几何模型转化为由节点和单元构成的有限元模型。网格划分的好坏将直接影响到计算结果的准确性和计算速度，甚至会因为网格划分不合理而导致计算不收敛。

(3)加载和求解

主要完成下列工作：首先定义分析类型、指定分析设置、定义载荷和边界条件、指定加载过程设置，然后进行模态的有限元求解。在模态分析中，要施加必需的位移约束来模拟实际的固定情况，在没有施加位移约束的方向上将计算刚体振型而且不允许施加非零位移约束。因为振动被假定为自由振动，所以忽略外部载荷。然而，ANSYS程序形成的载荷向量可以在随后的模态叠加分析中使用。

(4)扩展模态和模态扩展求解

对于缩减法而言，扩展模态意味着从缩减振型计算出全部振型；对于其它方法而言，扩展模态意味着将振型写入到结果文件中。总之，如果想在后处理器中观察振型，或者计算单元应力，或者进行后续的频谱分析都必须进行模态扩展。

(5) 查看结果和后处理

模态分析的结果被写入到结构分析结果文件jobname.rst中，可以在通用后处理器(/POST1)中观察模态分析的结果。 5.5 齿轮的模态分析

5.5.1 将Pro/E 模型导入ANSYS 软件中

启动PRO/E，打开gear1.rpt，.将文件保存IGES格式文件副本； 5.5.2 定义单元属性和网格划分

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基于ANSYS的齿轮模态分析

选用六面体八节点单元solid45进行网格 划分。其力学特性为弹性模量E=206GPa ， 泊松比υ= 0.28，密度ρ=7.8×103kg/。

利用Meshtool 自由划分，并利用网格划 分控制对局部网格尺寸进行控制。对总体单元 大小和面单元大小的长度设置为3，网格划分

结果见图5-1和图5-2所示。 图5-1 网格划分

图5-2 列表显示节点数和单元数

5.5.3 加载及求解

模态分析中唯一有效的“载荷”是零位移约束，如果在某个自由度处指定了一个非零位移约束，程序将以零位移约束替代在该自由度处的设置[25]。为了正确的施加位移约束，将节点坐标系旋转到柱坐标系下，则X、Y、Z分别代表R(径向)、θ(周向)、Z(轴向)。对齿轮内圈表面上的其中一个节点施加所有位移约束，加载结果如图5-3所示。

1ELEMENTSJUN 4 201117:14:58ZYXMODAL ANSYS OF A GEAR 图5-3 加载结果

进入求解器，设定分析类型为模态分析，采用Block Lanczos法提取10阶模态。不考虑预应力的影响，采用稀疏矩阵求解器求解。查看求解选项确认无误后进行求解。 5.5.4扩展模态和模态扩展求解

为了在通用后处理器(POST1)中观察振型，使用MXPAND命令应该进行模态扩展，扩

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