基于ANSYS的齿轮静力学分析及模态分析(4)

基于ANSYS的齿轮模态分析

列表中选择“Stress”选项和“von Mises stress”选项，单击【OK】按钮。每个单元角节点的6个应力分量将以列表的形式显示，如图3-13所示。

图3-13 列表显示节点结果

3.3 齿轮弯曲应力的结果对比

Von Mises是一种屈服准则,它遵循材料力学第四强度理论(形状改变比能理论)[10]。由图3-10可得，齿轮在外力的作用下齿轮的最大变形量为0.026217cm，变形量不大；由图3-11可得，齿轮在外力的作用下齿轮的最大应力为669.066MPa。齿轮的需用弯曲应力为722.9MP，因此符合强度要求。除了齿顶圆上的最大应力，其他部分的应力分布远远小于许用应力。

由由图3-11可得最大应力分布在齿顶圆施加载荷的地方，而不是出现在传统的齿根部分，这可能是由于在齿顶圆的线宽上出现了应力集中。

用传统方法计算了齿根弯曲疲劳强度[1]，按式（3-5）计算可得齿根弯曲疲劳强度为454MPa。有限元分析的弯曲应力的结果和传统方法的结果具体见表3-2所示。

?F14?2KFTYFa14YSa14Y? （3-5）

bdm表3-2 结果比较

整个轮齿 齿根

有限元法 669.066MPa 223.023MPa

传统方法 454MP阿 454MPa

由上表可知，有限元法分析的是整个轮齿的应力分布情况，而传统方法只能计算齿根处的弯曲应力，没有将齿顶处的应力集中考虑在内；对于齿根处的弯曲应力，从图3-11中可以看出齿根处得应力为223.023左右，而传统方法计算为454MPa，用传统方法得到的结果具有一定的裕度。

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齿轮接触应力有限元分析

第四章 齿轮接触应力有限元分析

4.1经典接触力学方法

渐开线齿轮齿面为形状较为复杂的曲面。然而由于接触区宽度远小于齿面在接触点的曲率半径，因而可对啮合齿面作适当简化。Weck等人的试验结果表明:当运转条件相同时，轮齿间的接触状态可用一对滚子来模拟，所以图4-1中的一对轮齿之间的啮合可以转换为如图4-2所示的两个圆柱体沿其母线的接触，两圆柱体的半径分别与啮合点大小齿轮的齿面曲率半径相等[11]。

在法向压力Fn作用下，由于接触表面局部弹性变形，形成宽为2b，长为L的长方形接触面，如图 所示。根据赫兹公式[1]，使用公式（4-1）计算赫兹半宽b。

221-μ11-μ2?4FnEE2×1 b? （4-1）

11πL?R1R2式中: E1、E2分别是两圆柱材料的弹性模量， μ1 、μ2是两圆柱材料的泊松比。 接触表面上所承受的压力是处处不等的，此压力向量的分布呈半椭圆柱形。最大压力发生在初始接触线处的各点上，并等于平均压力的π/4 。若接触应力为σHmax，则接触面上压力的合力为πσHmaxbL/2 。接触面上的应力应与外力Fn平衡，故有：

πσHmaxbL Fn? （4-2）

22Fn σHmax? （4-3）

πbL接触应力的基本公式如下：

11?FnRR2?×1 （4-4） 22πL1-μ11-μ2?E1E2σHmax

图4-1 齿轮啮合图 图4-2 两圆柱体接触

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基于ANSYS的齿轮模态分析

4.2 接触分析有限元法思想

弹性接触问题属于边界非线性问题，其中既有接触区变化引起的非线性，又有接触压力分布变化引起的非线性以及摩擦作用产生的非线性，求解过程是搜寻准确的接触状态的反复迭代过程[12]。为此，需要先假定一个可能的接触状态，然后带入定解条件，得到接触点的接触内力和位移，判断是否满足接触条件。当不满足接触条件时修改接触点的接触状态重新求解，直到所有接触点都满足接触条件为止。

接触过程通常是依赖于时间的，并伴随着材料非线性和几何非线性的变化过程。特别是在接触过程中，接触界面的区域和形状以及接触界面上的运动学和动力学的状态也是未知的。这些特点决定了接触问题通常采用增量方法求解。

所谓增量解法，是首先将载荷分为若干步f0，f1，f2??，相应的位移也分为若干步a0，a1，a2??。每两步之间的增长量为增量。增量解法的一般做法是假设第m步载荷fm和相应的位移am己知，而后载荷增加为fm?1?(fm??fm)，再求解am?1?(am??am)，。如果每步载荷增量足够小，则解的收敛性是可以保证的。同时，可以得到加载过程中各个阶段的中间值数值结果，便于研究结构位移和应力等随着载荷变化的情况。图4-3表示了用Newton——R即hson方法求解增量方程的过程。

根据接触状态的判定条件，接触条件都是不等式约束，也称之为单边约束。此外，接触面的范围和接触状态也是未知的，所以如何将接触面条件适当的引入求解过程是接触问题求解的关键。鉴于接触问题的特殊性，求解过程需要采用试探一校核的迭代方法进行，每一增量步的迭代过程[12]可一般性的表述如下：

(l)根据前一增量步的结果和当前增量步给定的载荷条件，通过接触状态的检查和搜索，假设此增量步第一次迭代求解的接触区域和接触状态—指两物体的“粘着”或“滑动”状态。

(2)根据上述对接触面区域和状态所作的假设，对于接触面上的每一点，将运动学或动力学上的不等式约束改为等式约束作为定解条件引入方程并进行求解。

(3)利用接触面上的计算结果和上述等式约束 所对应的动力学或运动学的不等式约束条件作为 校核条件对假定的接触状态进行检查。如果接触 面上的每一点都不违反校核条件，则完成本增量 步的求解并转入下一增量步的计算;否则修改接触 状态，回到步骤。

(4)再次进行搜寻和迭代求解，直至每一点的解

都满足校核条件。然后再转入下一增量步的求解。 图4-3 用N一R法解增量方程 综合以上的分析，给出接触问题求解算法的一般流程图(见图4-4)，以方便理解其整个求解过程。

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齿轮接触应力有限元分析

输入模型 定义接触体 细分增量步 输入增量步 检查接触状态 定义接触约束 施加载荷 迭代 装配刚度矩阵 施加接触约束 平衡方程求解 应力计算

更新接触约束 否 是否收敛 否 是 穿透是否合适 是 是否最后增量是 结束 图4-4 求解算法的流程图

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基于ANSYS的齿轮模态分析

4.3 ANSYS有限元软件的接触分析 4.3.1 ANSYS的接触类型与接触方式

ANSYS软件提供了两种接触类型[13]:刚体一柔体接触与柔体一柔体接触。刚体一柔体接触，适用于两接触面的刚度相差较大的物体间接触，假定刚度较大的面是刚体。一般情况下，一种软材料和一种硬材料的接触可被假定为此类接触;柔体一柔体接触是一种更普遍的类型，它假定两接触体均为变形体，适用于两个弹性模量和结构刚性比较接近的物体间接触。本文中分析的一对啮合齿轮材料相同，有近似的刚度，故采用柔体一柔体接触。

ANSYS软件支持三种接触方式[13]：点一点接触、点一面接触与面一面接触。点一点接触主要用于模拟点一点的接触行为，用户需预先知道确切的接触位置，只适于模拟接触面间有较小相对滑动的情况。点一面接触允许接触面上某一节点和被接触体上的某一单元相接触，不需预先知道确切的接触位置，接触面之间也不需要保持一致的网格，并且允许有热传导、有大的变形和大的相对滑动等非线性行为。面一面接触方式，计算量相对较少，适合于复杂表面、大变形、含摩擦力的接触问题求解。圆柱齿轮传动过程中，由于接触部刚度的变化，导致齿面的接触实际上是发生在接触线附近有限的面上。接触面上的节置在发生相互作用时并不固定，且存在齿面的相对滑动，显然点一点型不适合用于轮的接触分析。点一面型可以指定接触面为一组节点，从而代替面一面型接触。但是面-面单元与点一面单元相比有许多优点，例如:没有刚体表面形状限制，允许有自或网格离散引起的表面不连续;支持有大滑动和摩擦的大变形，协调刚度阵计算，提供不对称刚度选项;提供为工程目的所采用的更好的接触结果，如法向应力和摩擦应力。综合以上，选用面一面单元进行齿轮的接触分析比较合理。 4.3.2 ANSYS的接触算法

ANSYS在对接触问题的求解上提供三类算法[14]:拉格朗日乘子(Lagrangemethod)，罚函数法 (penaltymethod)和增广拉格朗日乘子法(AugmentedLagrangemethod)，下面对这三种算法作简单的介绍。

(l)拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法通过增加一个独立自由度，即接触压力，来满足无穿透条件，不需要定义人为的接触刚度去满足接触面间不可穿透的条件，可以直接实现穿透为零的真实接触条件，计算结果较精确。但是该方法增加了系统变量数目，并使刚度阵中出现了对角线元素为零的子矩阵，需要实施额外的操作才能保证计算精度，给计算带来麻烦，这对圆柱齿轮这类三维接触问题尤为不利。还有一个可能发生的严重问题，就是在接触状态发生变化时，接触力有个突变，接触状态的振动式交替改变，如何控制这种改变是纯粹的拉格朗日算法所难以解决的。这种算法主要用于采用特殊的界面单元描述接触的问题分析。该方法限制了接触物体之间的相对运动量，并需要预先知道接触发生的确切位

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