高分子物理习题册(8)(4)

由于，，则有

上式便是Maxwell模型的运动方程式，即应力－应变方程。 （2）

、

和

、

的表达式：

当模型受到一个交变应力作用时，其运动方程式可写成

在

到

时间区内对上式积分，则

－＝－+

＝

，由上式得

应变增量除以上应力增加即为复合柔量

因此，，。 ，得

应力增量除以应变增量，即为复合模量

＝+＝

因此，，

*例8－27 标准线性固体模型中黏度和模量如图8-24所示，试证明当用正弦交变应力作用于该模型时，

其内耗正切的表示式为，式中为正弦交变应力的角频率，为模型

的松弛时间，。

图8-24标准线性固体模型

解：这三元件模型可看做一个弹簧和一个Maxwell模型并联。根据并联模型应变相等应力相加的原理，有

和

当以正弦交变应力作用该模型时，产生的正弦交变的应变复数为

，则

＝＝

故，

所以＝

例8－28 用Maxwell模型证明，。

分析：高聚物熔体具有黏弹性，与复数模量和复数柔量一样，复数黏度也包括两部分，实部表示真正的黏度贡献，虚部是弹性部分的贡献，其两部分的表示式可用Maxwell串联模型导得。

解：当模型受到一个交变应力时，便产生一个交变的形变

，由，得

＝

又因，

所以

说明：

为实数部分，又称为动态黏度。

例8－29 对聚合物施加一个交变应力ε＝ε1cos（

t）＋ε2sin（

＝0cos（t），产生应变

t），证明柔量的储能分量J1和损耗分量J2分别由下面两式表示：

J1=ε1/计算

0= J2=ε2/0=

＝0.01，0.1，0.316，1，3.16，10和100时J1E和J2E值。

）关系的草图。 t)+ε2

cos(

t)

画出J1E和J2E对log（解：dε/dt=-ε1

sin(

=

令sin和cos分量分别相等，得 ε2＝和ε2

（1） ＝

（2）

将（1）式代入（2）式得

或

然后（1）式成为

所得数据列表和作图如下：

-2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 0.01 0.10 0.316 1 3.16 10 100 1 0.99 0.91 0.5 0.09 0.01 10-4 0.01 0.10 0.29 0.5 0.29 0.10 0.01

图8－25 J1E和J2E对log（8. 2 时温等效原理和WLF方程

例8－30 PMMA的力学损耗因子在130℃得到一峰值，假定测定频率是1周／秒．如果测定改在1000周／秒，在什么温度下得到同样的峰值?(已知PMMA的Tg＝105℃)

）关系

解：

思路分析：130℃ Tg（105℃） ？（求） 1Hz ？（通过） 1000Hz

第一步：将测量从130℃、1Hz，移至105℃，求频率：

第二步：将测量从105℃、移至1000Hz，求T

T＝156℃

例8－31 对聚异丁烯(PIB)在25℃10小时的应力松弛达到模量106达因／厘米-2．利用WLF方程，在－20℃下要达到相同的模量需要多少时间．对PIBTg=－70℃ 解：思路分析：25℃ Tg（－70℃） －20℃ 10h ？（通过） ？（求）

第二种方法：

其他作法分析： 从书上查得PIB的

，

代入WLF方程计算得非普适值。

。结果出现差别的原因是这里和采用了PIB的实验值，而

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