第四章 练习题及参考答案(2)

多少功？

解：建立一维直角坐标系，坐标原点位于无穷大导体平面上。令已知点电荷q位于坐标轴上，距坐标原点为h。直接计算电场力做功为

??W??qE?dl

其中电场是已知点电荷q所在空间的电场（由q以外的电荷所激发），即镜像电荷q?在此空间产生的电场：

?E?q??q?? e?ey22y4??0(2y)4??0(2y)则要求的功为

???W??qE?dl??qEdy??h?qqq2dy?? 216??0h4??0(2y)q216??0h可见，电场力做负功，则外力克服电场力做功为 W?

9、无限大导体平面上方有一电荷线密度为?l的长直线电荷，电荷线与导体平面的距离为h，求此电荷线单位长度所受的力。

解：由于连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理可知，同样可以应用点电荷的平面镜像法求解。因此，长直线电荷?l的镜像电荷为线密度为?l????l，距离导体平面为h的电荷。已知线电荷?l所受的力即镜像电荷

??l?在此空间产生的电场E所施加。其电场为 ???l?r E?e2π?0 r则长度为L的线电荷?l（总电荷Q??lL）所受的电场力为

??l??lLF?QE??lL?

2π?0 (2h)4π?0 h??lF故单位长度所受的力为： f??

L4π?0 h2210、一导体长槽两侧壁向y方向无限延伸且电位为零，槽底面电位为U0，如图

所示。求槽横截面内的电位分布。

解：由于所求区域无源，且为二维场，电位函数

??x,y?满足的拉普拉斯方程为：

?2??x,y???2??2??x2??y2?0

边界条件为：

?x?0?0

?x?a?0

?y?0?U0 ?y???0

利用分离变量法，令：??x,y??f?x?g?y? 则得：

d2fdx2?k2xf?0d2gdy2?k2yg?0 k2?k2xy?0根据边界条件?x?0??x?a??y????0，

???x,y???A?n???n?nsin?x?ayn?1?a?e再由边界条件，可得

?

???A??n??y?0nsinn?1?ax???U0

利用三角函数的正交归一性，求得An为： A4U0n?n??n?1,3,5???? ?x,y?的通解可写为：

?

图2 则得槽内的电位分布为

4U0?n?????x,y??? sin?x?e?a?n?1,3,5...n??n?ya

11、如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。

解：根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为

,?)?a(y,?) ① ?(0y) 0 ② ?(x,0??U③ ?(x,b)0

根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为

?(x,y)??Ansinh(n?1?n?yn?x)sin() aa由条件③，有

U0??Ansinh(n?1?n?bn?x)sin() aa利用三角函数的正交归一性，两边同乘以sin(n?xa)，并从0到a对x积分，得到

2U0n?xAn?sin()dx

asinh(n?ba)?a0a?2U0(1?cosn?)n?sinh(n?ba)4U0?

,n?1,3,5,????n?sinh(n?ba)?0，n?2,4,6,??故得到槽内的电位分布

?(x,y)?4U01n?yn?xsinh()sin() ??n?1,3,5,?nsinh(n?ba)aa

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