第四章 练习题及参考答案

第四章 静态场的解 练习题

1、设点电荷q位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置

（2） 直角劈内任意一点(x,y,z)处的电位表达式 （3）

?q

?q图1

?q

图2

解：（1）镜像电荷所在的位置如图1所示。 （2）如图2所示任一点(x,y,z)处的电位为

??q?1111?????? ??4??0?r1r2r3r4?r1?其中，

?x?1?2??y?2?2?z2?x?1?2??y?2?2?z2?x?1?2r2?r3?r4???y?2??z22

?x?1?2??y?2?2?z22、 两个点电荷?Q和?Q位于半径为a的接地导体球的直径延长线上，距球心均为

2a3Qd。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为2。

d证明：由点电荷的球面镜像法知，＋Q和－Q的镜像电荷Q?,Q??分别位于球内＋Q和－Q

a2a连线上大小分别为?Q，且分别距球心为（分别位于球心两侧）。可见Q?,Q??构

DD成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为：

aa22a3Q。结论得证。 p?ql?Q??2DDD3、已知一个半径为a的接地导体球，球外一个点电荷q位于距球心O为d处。利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。

解：由点电荷的球面镜像法可知，q的像电荷q?必定位于球内，且在q与球心0连线上，位置在距离球心设为f 处。建立直角坐标系，由边界条件?(球）=0可取球面上两个特殊点A,B讨论。A,B是q与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得：

?(A)?qq???0，

4??0(d?a)4??0(a?f)qq???0。

4??0(d?a)4??0(a?f)?(B)?aa2解此方程组得：q???q,f?。

dd所以任意场点P(x,y)处的电位为： ??q4??0r?q?4??0r?。

其中r,r?分别是点电荷q和q? 到场点P的距离。

2222值分别为r?[(x?d)?y]2,r??[(x?f)?y]112。

4、半径为a的不接地导体球附近距球心O为d（d?a）处有一点电荷q，用镜像法计算

球外任一点的电位。

解：由点电荷的球面镜像法可知，q的像电荷除了有q?（即导体球接地时对应的结果，

a2a），还在球心处有另外一个镜像电荷q??，以保证导体球面电q???q，其位置为f?dd势不为零的边界条件成立，且可知q????q?。 所以任意场点P处的电位为：

??q4??0r?q?4??0r??q??4??0r??

其中r,r?,r??分别是点电荷q、q?和q??到场点P的距离（可在具体坐标系中表示出来）。 5、接地无限大导体平面上半空间有一点电荷，电荷量为1，距导体平面为h。 （1）导出电位函数满足的方程并应用镜像法求出位函数的解。 （2）求导体表面上感应面电荷密度，并证明总感应电荷为－1。

解：（1）由题意知，导体平面上半空间无点电荷体分布，即??0。故电位函数满足拉普拉斯方程 ???0。建立坐标系，令z?0为导体平面，已知点电荷位于z轴上，坐标为（0，0，h）。边界条件为： ?(?)?0,?(z?0)?0。则镜像电荷位于z轴上（0，0，?h）点，大小为-1.于是空间任意场点P【坐标为（x,y,z），】的电位为已知点电荷1与镜像电荷-1共同产生的，其值为??214??0r2?2?1。其中r,r?是场点分别到已知点电荷1与镜

4??0r/22222像电荷-1的距离，其值分别为r?x?y?(z?h),r??x?y?(z?h)。 （2）证明：由上题电位值可计算出P点的电场强度各分量的值份分别为

Ex?x4??0(11y111z?hz?h?),E?(?),E?(?3) yz4??0r3r?34??0r3r3r?3r?由静电场的边界条件Dn??s，可得导体表面的电荷面密度为：

?s??0EZ??h2?(x?y?h)22232

所以导体表面上总感应电荷为：

h q????sds??2?????????dxdy(x?y?h)22232??1 ，结论得证。

6、如题图（a）所示，在z?0的下半空间是介电常数为?的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q。求 （1）z?0和z?0的两个半空间内的电位；

（2）介质表面的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q?。

z q z q R1 z q?q?? ?0 h o ? ? h h P ? o ?0 ?0 h o R2

P R? 图 2.13q ? 题 4.24图（a） 题 4.24图（b） 题 4.24图（c） 解：（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b）、（c）所示）

q???q??????0q，位于 z??h ???0???0q， 位于 z?h ???0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q?共同产生，即

?1? ????0q?11?????2?2224??0????r?(z?h)?0?r?(z?h)?下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q??共同产生，即

qq??4??0R14??0R??2?q?q??q?4??R22?(???0)1r2?(z?h)2

（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为

?p?n??P1?P2???0(z?0??0(E1z?E2z)z?0z?0

??2??1?)?z?z??(???0)hq

2?(???0)(r2?h2)32极化电荷总电量为

(???0)hqrqP???PdS???P2?rdr??dr 2232????00(r?h)S0????(???0)q?q? ???07、如图示，一个半径为R的导体球带有电荷量为Q，在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。

（1）求点电荷q与导体球之间的静电力； （2）证明当q与Q同号，且

QRD3R?? 222q(D?R)DD d? Q?q?? o q? q z R 成立时，F表现为吸引力。

解：（1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷q?和q??的大小和位置分别为（如题图所示）

RR2q???q， d??

DDq????q??Rq，d???0 D导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电力为

F?Fq??q?Fq???q?FQ?q?qq?q(D?q??)

?4??0(D?d?)24??0D2??q?Q?(RD)qRq????2? 224??0?DD?D??RD???????（2）当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F?0时，则应有

Q?(RD)qRq?2D2DD??RD???2?0

由此可得出

QRD3R?? q(D2?R2)2D8、已知一点电荷q与无穷大导体平面相距为h，若把它移动到无穷远处需要作

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