肾炎诊断的数学模型(2)

照元素种类划分总体，分别为A1（Zn），A2（Cu），A3（Fe），A4（Ca），A5（Mg），A6（K），A7(Na)，同理， 31-60号已确诊为健康人的化验结果划分总体为B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7。然后，我们根据表B.1的数据特征模拟出30组已确诊为肾炎病人的化验结果和30组已确诊为健康人的化验结果划分为样本D1，D2，D3，D4，D5，D6，D7，通过我们建立后改进的距离判别模型，用马氏距离法计算可得到各种元素在诊断病情时带来的误判率，然后我们再以总体A总体B的7种元素均值，并选取表B.1中病例号为1,2,4的作图。根据图形和误判率，我们得出可能为关键或主要因素的6组元素的组合。接着，我们对每个组合按照我们检验出的指标元素用改进后的距离模型可得到各种情况的误判个数和此时对应的误判组号。然后再根据马氏距离模型的差值D来判别指标。经计算，Fe，Ca，Mg，K为主要判别指标。

针对问题四：根据我们确定的Fe，Ca，Mg，K四种元素指标，用马氏距离法，再根据我们建立的距离判别模型得出结果。

针对问题五：我们对于问题二和问题四得出的结果，我们得到，根据我们确定出来的关键元素Fe，Ca，Mg，K作为指标，我们从被诊断为健康人的数据中发现了3组患肾炎的，而原被诊断为患肾炎的数据数目没变，根据我们在诊断的过程中不会把患肾炎的诊断成健康人，这进一步验证了我们选取的元素指标的正确性。

4、数据分析

原则一：我们在判别的过程中不会将患病的诊断出没患病的，但我们可以

把一些指标值不是太明显的健康人诊断为患病（类似于住院做进一步检查）。

原则二： 非主要元素对主要元素的判断会产生影响（类似于非主要元素数

值过大影响判断）

定义1：在马氏距离判别模型中的距离平方差值D接近0的附近为易误判

区域。

由题目所给的数据我们可计算得到： 以表B.1中1-30号各种元素的均值对应的矩阵

M=（ 143.10 12.33

23.07 698.17 113.34 201.13 526.83 ）

以表B.1中31-60号各种元素的均值对应的矩阵：

N=（ 186.6 21.92 62.01 2511.13 295.14 90.37 367.21 ）

其中：M表示的是表B.1中1-30号已确诊为肾炎病人的化验结果的各项元

素的均值；

N表示的是表B.1的31-60号已确诊为健康人的化验结果的各项元素

的均值；

经过比较我们可知，这两个总体的均值是有显著差异的。

在易误判区域内，我们引入了误判因子，使得我们能够更好的判别，再使得有患病可能的提前做好预防。得出误判因子u的具体流程如图所示：

数据调入并开始误判因子初始u=0有病样本加入u后的马氏距离判别结果判别因子u+1误判率判定成功判别因子u确定马氏距离判定式确定

经计算，我们得出误判因子u=4

5问题一的解答

5.1模型的建立

根据题意，我们建立了欧式距离和马氏距离两个距离判别模型。

对于欧式距离法，我们选取出表B.1中1-30号已确诊为肾炎病人的化验结果作为总体A， 31-60号已确诊为健康人的化验结果作为总体B。然后，我们根据表B.1的数据特征模拟出30组已确诊为肾炎病人的化验结果和30组已确诊为

健康人的化验结果作为样品C，分别用这两种方法来检验。对于欧式距离法，我们根据我们建立的距离判别的数学模型，用欧式距离公式d2?X，M??d2?X-M?i2，

?X，N???X-N?i2分别求出样本C到总体A已确诊为肾炎病人的化验结果矩

阵和总体B已确诊为健康人的化验结果矩阵的距离。于是我们得到目标函数

d=d2?X-M?-d2?X-N?，

对于马氏距离法，同理，为了简化计算，我们求两个马氏距离平方之差作为目标函数即为：

D=d2?X，M?-d2?X，N?

其中，d2?X，M?=?X-M?综上所述：

得到欧式距离法的模型为：

TS?X-M? ，d?X，N?=?X-N?S?X-N?

2T12d=

其中，d2?X，M??d2?X，M?-d?X，N?

2?X-M?i2，d2?X，N???X-N?i2

得到的马氏距离法的模型为：

D=d2?X，M?-d2?X，N?

其中，d2?X，M?=?X-M?TS?X-M? ，d?X，N?=?X-N?S?X-N?

2T125.2模型的求解

?0，将相应的数据分别代到上述模型中，分别判断差值。如果平方差值d（D）

则我们说该样品属于健康人的总体，反之，属于患肾炎的总体。 经计算，我们得到

用欧式距离判别此时的误判率为23.33%； 用马氏距离判别，得到此时的误判率13.33%。

为此，我们选用马氏距离法。但是此时的误判率并不是很让人满意，于是我们引入误判因子u=4，即在得到的差值D上加上误判因子u，重新用马式距离判别误判率为3.33%为此，我们选用改进后的马氏距离方法来判别就诊的是属于患者或健康人。

5.3 结果分析

用欧式距离判别，得到10组确诊为肾炎病人，此时的误判率为33.33%；用马氏距离判别，得到15组确诊为肾炎病人，此时的误判率0。加入误判因子u后马氏距离判别误判率为3.33%。此时误判率大大提高了，说明误判因子使诊断更精确。验证了我们的马氏距离判别模型的正确性。

6 问题二的解答

根据问题一提出的马氏距离判别模型，得到的马氏距离法的模型为

D+u=d2?X，M?-d2?X，N?+u

其中，d2?X，M?=?X-M?TS?X-M? ，d?X，N?=?X-N?S?X-N?

2T12此时，X为表B.2的需要判定的数据。

根据D+u的值来判别，当D+u?0时，我们则诊断它为健康人；当D+u<0时，则诊断为肾炎患者。

经过计算，我们得到如下结果，如图所示： 61 患病 71 患病 81 正常

62 患病 72 患病 82 正常 63 正常 73 患病 83 患病 64 患病 74 正常 84 正常 65 患病 75 正常 85 患病 66 患病 76 患病 86 正常 67 正常 77 正常 87 正常 68 正常 78 正常 88 正常 69 患病 79 正常 89 正常 70 正常 80 正常 90 正常 7.问题三的解答

根据表B.1的特征，我们仍然是用改进了的马氏距离法距离判别模型。

D+u=d2?Xi，M?-d2?Xi，N?+u

其中，d2?Xi，M? =?Xi-M? K=3,4,5，…9

根据D+u的值来判别，当D+u?0时，我们则诊断患者该元素是健康人的，此时就会出现误判，反之，则诊断出该元素是患有肾炎的。

TS?Xk-M? i， d2?Xi，N?=?Xi-N?TS?Xki-N?

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