专题3-4 插值与拟合+数值微分积分(3)

分析：在本题中利用了二次拟合，三次拟合，四次拟合分别拟合出函数y=x.^3-6*x.^2+5*x-3的多项式，并画出相应的拟合曲线。运行之后，对二次拟合曲线，三次拟合曲线，四次拟合曲线的图像进行比较分析，发现：相比较而言，三次拟合的吻合性更高，即精度更好。二次效果最差。

3、p81 第五题：（要求程序、计算结果和图形）

n=[0000 1153 2045 2800 3466 4068 4621 5135 5619 6152]; t=[0 20 40 60 80 100 120 140 160 183.5]; R=[n'.^2,n']; aa=R\\t'

y=aa(1)*n'.^2+aa(2)*n' plot(n,t,'b+',n,y,'r') xlabel('n'),ylabel('T')

t=[0 20 40 60 80 100 120 140 160 184]; n=[0 1141 2019 2760 3413 4004 4545 5051 5525 6061]; A=[(n.^2)' n'] X= A\\t'

注意： （1）、如果直接用polyfit做多项式拟合，会得出一般二次多项式； （2）、另外，可以做变换，两边同时除以n，然后用一次函数拟合。 3、p81-6题

（本答案在闾宇提供的基础上修改）

分析：本题已经建立好了模型！只需对其进行求解：

由题目所给的方程v(t)?v?(v?v0)exp(?t/?) （已知v?10）可见，v(t)与?（T）成指数变化关系，所以在通过曲线拟合的时候，使用指数曲线y?a2ea1x。（注：这是一种非线性曲线拟合，首先要进行变量代换，为方便计算做以下变量代换） ①用v1代替v(t)，v2是拟合后的曲线方程 ②对v(t)?10?(10?v0)exp(?t/?) 变形后取对数，有

ln(10?v(t))?ln(10?v0)?(?t/?) 。

③ 令y?ln(10?v(t)),a2?ln(10?v0),a1??1/?

则：v0?10?exp(a2),???1/a1

程序：

t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9 ];

v1=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63]; y=log(10-v1); a=polyfit(t,y,1); a1=a(1);a2=a(2); T=-1/a1

v0=10-exp(a2)

v2=10-(10-v0)*exp(-t/T);拟合后的函数值 plot(t,v1,'k+',t,v2,'r')

结果： t0 =

3.5269 v0 =

5.6221

109.598.587.576.560123456789

专题4 数值积分微分

专题4作业：数值积分与数值微分-《数学实验》P97-实验内容：2(d),3,9+补充完成p96人口增长率

二、数值积分与微分部分

0（未布置）97-1题利用三种公式计算积分，另外利用三点公式计算每点处的导数，数值计算结果都与精确值进行比较。(数值比较需列表、另外还要求画图比较)

程序： syms x

y=(x+sin(x/3)); z=int(y,0.3,1.5) z=z

xx=0.3:0.2:1.5; y=xx+sin(xx./3); z1=sum(y(1:6))*0.2 z2=sum(y(2:7))*0.2

z3=quad('x+sin(x./3)',0.3,1.5) z4=trapz(xx,y)

u1=z-z1,u2=z-z2,u3=z-z3,u4=z-z4

h=0.2;x=0.3:h:1.5;

y=[0.3895 0.6598 0.9147 1.1611 1.3971 1.6212 1.8325]; format long

z1=sum(y(1:6))*h,z2=sum(y(2:7))*h,z3=trapz(y)*h,z4=quad('y',0.3,1.5),z5=quadl('y',0.3,1.5), format short

1、p97-2题

选择一些函数用梯形、辛普森和随机模拟三种方法计算积分。改变步长（对梯形公式），改变精度要求（对辛普森公式），改变随机点数目（对随机模拟），进行比较、分析。如下函数供选择参考：

1?x2d.y?e,?2?x?2.

2?（1组同学提供答案） 程序：编辑函数M文件： function y=fun(x)

y=(1./sqrt(2*pi))*exp(-x.^2./2)；

程序： clc,clear

format long h=4/50; %步长 x=-2:h:2; y=fun(x);

z1=trapz(y)*h %梯形公式

z2=quad('fun',-2,2) %辛普森公式 n=1000; %随机模拟方法 x1=rand(1,n); y1=fun(x1.*2); z3=sum(y1)*4/n

当对梯形公式取h=4/50,4/100,4/10000;对辛普森公式分别取精度为

?310,1?708 1，对随机点数目取n=1000,10000,100000,得到的结果如下： ,?02梯形公式 辛普森公式 蒙特卡罗方法 0.95438456767789 0.95449943824154 0.93999211059586 0.95447094168964 0.95449973610735 0.95794338594866 0.95449973322412 0.95449103739736 0.95427317381756 分析：对于梯形公式，步长越小，结果越精确；对于辛普森公式，在一般情况精度下的结果都很精确，辛普森有很好的优越性，但是需要函数表达式；蒙特卡罗方法，虽然结果具有随机性，但是随着n的增大，其计算结果越来越接近准确值。

2.p98-3题（要求15位小数显示） x=0:0.1:1;

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