条件概率及其应用(3)

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4.1 公式之间的联系

对于概率公式的理解,不仅要理解各个公式的特点以及使用该公式所需的条件,还要了解几者之间联系.这对灵活应用概率公式有很大帮助,是必须了解的部分.

1.条件概率公式与乘法公式的关系

通过对上述四个公式的仔细观察很容易发现,这四个公式之间有必然的联系.若在条件概率公式(1)(或(2))的两边同时乘以P(A)(或P(B)),就可以得到乘法公式(3)(或(4))．

2.乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式的关系 由乘法公式(3)(4)知道：

P(A1B)?P(A1)P(BA1)?P(B)P(A1B)------------------(7)

将此式变形可得：

P(A1B)?P(A1)P(BA1)------------------------(8)

P(B)若再将全概率公式(5)式带入(8)式,便得到贝叶斯公式(6).

从上述分析可知：条件概率基本公式包含如下四个公式：条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式,它们之间的联系主要是以条件概率公式作为起点,再由乘法公式和全概率公式作为连接前后的桥梁,最后由贝叶斯公式作为结点所组成的一组关联公式,犹如一棵藤蔓上开着的四朵花[2].所以要想掌握条件概率的计算,必然要熟悉这些相关公式间的联系.其中尤为重要是全概率公式与贝叶斯公式之间的关系,这主要是由于这两个公式可以算是这组关联公式的精髓部分.

4.2 应用技巧

对于数学知识的学习,尤其是公式的学习,要掌握他们的计算方法,以及应用技巧是十分重要的环节,这可以让更好的将所学应用到实际之中.下面将分别介绍四个公式的应用技巧.

1)从上述描述中了解到条件概率公式位于这组关联公式的起始点,说明它是这四个公式之中比较好理解、掌握以及应用的.只要在做题时仔细阅读题目,准确的理解题意就可以判断出目标事件中有没有附加条件.如果有附加条件,只要分清楚条件与目标事件分别是什么,再根据题意选择正确的条件概率公式(1)或者(2)进行解题即可.

2)乘法公式使用时,主要需分清楚是哪个事件是先发生的,例如：对于事件A和事件B,如果事件B在事件A之后发生,则选择P(AB)?P(A)P(BA)；如果事件A在事件B之后发生,则选择P(AB)?P(B)P(AB).

3)关于复杂事件概率的计算有一个非常有效公式：全概率公式.在生活中复杂事件的发生往往是由若干种“原因”引起的,这些原因可以组成一个样本空间中的完备事件组.该完备事件组都是随机试验的第一步骤产生,而事件是指紧跟着完备事件组之后发生的事件,从而表明事件的发生具有先后顺序.因此,利用全概率公式解决概率问题的时候,要先弄清

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楚随机试验的先后顺序.而何时使用全概率公式,要根据具体问题而定.一般来说,若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的试验结果是不确定的,要求的是第二阶段的结果发生的概率,则用全概率公式[1].

4)相对于全概率公式来说贝叶斯公式主要是计算在知道复杂事件已经发生的条件下,求出其中某一“原因”发生的概率.但对于什么时候使用贝叶斯公式,要根据具体情况而定.一般来说,若随机试验可以看成分两个阶段进行,并且第一阶段的试验结果是不确定的,而第二阶段的某个结果是已知的,需要求出这个结果是第一阶段某一个结果所引起的概率,这种情况下就要使用贝叶斯公式[3].

5 条件概率在实践中的应用

5.1 全概率公式在抽签问题中的应用

在日常生活中,人们常常会遇到一些有关先后顺序的问题,除了某种特定条件下的顺序之外,在很多情况下都会习惯性的采取抽签的方法来解决这种问题.然而不是所有人都认同这种方法,他们之中觉得这与抽签的先后顺序有关,也就是说他们认为第一个抽签的人会抽到好签几率最大,越到最后抽好签几率就越小.那么抽签的先后顺序是不是真的决定一个人抽到好签的几率,现在就这个问题运用相关概率来计算,看看先后顺序是否起决定作用.

【案例】某公司在组织活动的时候安排了一项抽签答题活动,准备了20道题其中有5道比较难的题,每位参加人员抽签一次,不重复地抽.现有三人先后参加活动,求这三人抽到难题的概率,试证明三人抽到难题的概率是否相同.

证明：设A,B,C分别为三人抽到难题的事件,分别计算P(A),P(B),P(C). (1)P(A)?51??0.25； 204(2)P(B)?P[B(A?A)]

?P(BA?BA)

?P(A)P(BA)?P(A)P(BA),

其中A与A两两相互独立的,即A?A??,AA??. 代入数据得5?4?15?5

20192019 ?191??0.25 764(3)P(C)?P[C(AB?AB?AB?AB)], 其中AB?AB?AB?AB??, 且AB?AB?AB?AB??. 则上式可转换为：

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P(C)?P(A)P(BA)P(CAB)?P(A)P(BA)P(CAB)?P(A)P(BA)P(CAB)

?P(A)P(BA)P(CAB)

??1514515545154543??????????? 20202020202020202020202021663???160160160400

1??0.254综上所述：这三人抽到难题的概率相等并且都为0.25.

小结：通过上述例题可确定一切有关抽签的问题,都可以通过全概率公式进行计算来验证抽签先后的顺序不同其概率是否相等,从而可知在顺序先后所得的任何结果的概率在理论上来讲是一样的,因而对于抽签好签与抽签的先后顺序无关.如此进行抽签可以确保事情的公平性与合理性．

5.2 贝叶斯公式在风险决策中的应用

随着时代的发展,人们将面临许多风险.当人们无法做出相应的决策的时候,将面临很大损失.因而对于不同领域的风险,必须研究如何尽最大可能避免风险,从而获得相对最高收益.那么下面看看贝叶斯公式在这些风险决策中应用情况.

【案例】某服装公司经营女士服装多年,现有一种新款服装准备投入市场,需要对此新服装生产批量做出决策,如今有三种可选方案：大规模、中规模、小规模.而对于新款服装生产规模的大小起决定因素的是未来服装市场对该新款服装的需求量,现在根据以往市场销售情况和经验两方面进行分析,预估计未来服装市场对于新款服装的需求量小的可能性为0.7.如果未来服装市场对该服装的需求量大就采取大规模、中规模、小规模生产,这时该服装公司将分别获得利润为30万元、20万元、10万元：与之相反的情况,如果未来服装市场需求量小就采取大规模、中规模、小规模生产,公司将分别获得利润为-6万元、-2万元、5万元.

根据题意可知道,未来服装市场的需求量信息对于该公司至关重要,因而该公司想更好的了解未来服装市场,就需要委托咨询公司进行服装市场信息调查,而这项工作需要支付费用3万元,根据咨询公司所提供的服装市场的资料中可了解到,未来服装市场需求量大的准确率是85%,未来服装市场需求量小的准确率是90%,这家公司该如何决策？ 对于此案例我将进行以下分析及解决方法.

假设大规模、中规模、小规模分别用A1,A2,A3表示；需求量大与需求量小则分别用B1,B2表示.咨询公司提供的市场需求量大和市场需求量小分别用C1,C2表示.

首先考虑若用公司不用咨询公司提供的信息,可以根据先验获得期望值来选择最优方案.从而各个方案所对应的先验期望收益可知最优方案为：

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E(A1)?0.3?30?0.7?(?6)?4.8(万元), E(A2)?0.3?20?0.7?(?2)?4.6(万元),

E(A3)?0.3?10?0.7?5?6.5(万元).

此时进行小规模生产最好选择,与之相应的最大先验期望收益值是E先?E(A3)?6.5 (万元)

对于以上的最优方案,仅仅是依据以往的资料,不代表现在市场的需求.而公司的决策者要想做出最优化的决策必须要掌握当下的市场需求,同时.获取市场的需求信息需要付出相应的费用.在这个时候,就必须考虑所付出的信息费用与获得信息后所带来的收益相比,从而决定要不要进行市场调查.

补充说明：若该公司所获得的信息可以确定该状态即将发生,则该信息就称为该状态下的完全信息.这里的完全信息是指尽量的靠近它,不是绝对的可能,也存在一定的可能性,只是尽可能地将这个差距缩小.再在此基础上进行决策,将获得更好的收益.

因而在此题中,所得到的完全信息有两种可能：一种是未来服装市场需求量大,此时只有选择A1时的收益最大；另一种是未来服装市场需求量小,此时只有选择A3时的收益大.因此完全信息下的收益期望值为：E?30?0.3?5?0.7?12.5(万元).

显然,完全信息下的收益期望值没有超过没有完全信息的期望收益部分,其差是这个问题完全信息的价值,因此称该值为完全信息期望值(简记为EVPI)[4],则该题的

EVPI=12.5-6.5=6(万元).由此可以看出为获得这些信息所需的费用少于补充信息后公司所

获得的收益,从而采用市场调查是合算的. 从咨询公司提供的资料可得：

P(C1/B1)?0.85, P(C2/B1)?1?P(C1/B1)?0.15,

P(C2/B2)?0.9, P(C1/B2)?1?P(C2/B2)?0.1, 由全概率公式可得：

P(C1)?P(B1)P(C1B1)?P(B2)P(C1B2)

?0.3?0.85?0.7?0.1?0.325,

P(C2)?P(B1)P(C2B1)?P(B2)P(C2B2)

?0.3?0.15?0.7?0.9?0.675,

再由贝叶斯公式可得：

P(B1/C1)?P(B1)P(C1/B1)0.3?0.85??0.7846325,

P(C1)0.325 P(B)?1P1(B/?), 0.21542/C1?1C P(B1/C2)?P(B1)P(C2/B)10.3?0.15??0.0667,

P(C2)0.675 P(B)?1P1(B/2C?). 0.93332/C2? 如果咨询公司提供的是未来服装市场需求量大的信息,此时各个方案的最大收益值分

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别是：

E(A1C1)?P(B1C1)?30?P(B2C1)?(?6)?22.2456(万元), E(A2C1)?P(B1C1)?20?P(B2C1)?(?2)?15.2612(万元),

E(A3C1)?P(B1C1)?10?P(B2C1)?5?8.923(万元).

根据最优期望准则选择大规模生产,最大期望收益值是：E(A1/C1)?22.2456(万元). 同样如果咨询公司提供的是未来服装市场需求量小的信息,此时各个方案的最大收益值分别是：

E(A1/C2)?P(B1/C2)?30?P(B2/C2)?(?6)??3.5988(万元), E(A2/C2)?P(B1/C2)?20?P(B2/C2)?(?2)??0.5326(万元),

E(A3/C2)?P(B1/C2)?10?P(B2/C2)?5?5.3335(万元).

此时,根据最优期望准则选择小规模生产,最大期望收益值是：E(A3/C2)?5.3335(万元).

在有咨询公司的补充信息及资料条件下,后验决策最大期望收益值： E后?P(C1)E(A1C1)?P(C2)E(A3C2)?10.8298(万元)

咨询公司补充信息及资料条件的价值是：Es=Es?E后?E先?10.8298?6.5=4.3298(万元).

由上述计算分析之后可知,该服装公司在采用市场调查后所做出的最优决策比根据以往资料所做的最优决策可减少损失4.3298万元,除去支付咨询公司的费用任有很大收益. 小结：通过上述案例分析,在生活中的风险决策问题中,贝叶斯公式的使用是非常重要的.而我们在进行风险决策的时候,要先对未来市场进行缜密的调查,再根据情况利用贝叶斯公式进行计算,此时可以将先验概率进行修正为后验概率,然后计算后验期望收益,从而选择最优的风险决策略.

6 结论

条件概率不仅是概率论中的一个非常重要的概念,也在概率论的知识体系中起着桥梁的作用.本课题主要是研究条件概率及其应用,通过上述对条件概率的思想方法以及全概率公式、贝叶斯公式在实际生活问题中的应用介绍,了解到条件概率的思想方法有着很广泛的应用.但在运用条件概率的思想方法时,首先需要掌握一定的条件概率概念、性质、计算公式(乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)等,然后再通过分析待解决的实际生活中问题的具体结构,根据其与条件概率知识的结合点,选择合适的条件概率公式构建恰当的数学模型.将生活中抽象的数学计算转化为具体的概率求解问题,进而达到简化解题步骤的目的,并且可以得到最优化的结果.让人们更加了解条件概率在实际生活中的应用,并且可以熟练地使用概率公式解决身边的问题,明确学习概率论的重要性,最后将理论知识应用到实际中.这既是学习条件概率的初衷,也是本人研究本课题的目的.

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参考文献

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