条件概率及其应用(2)

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P(BA)?定义2：设A,B为两个事件,且P(B)?0,则称生的条件概率,记为：

P(AB)?P(AB) --------- 条件概率公式(1) P(A)P(AB)为事件B发生的条件下,事件A发P(B)P(AB) ---------- 条件概率公式(2) P(B) 定义3：如果事件B发生不影响事件A发生的可能性,即P(BA)?P(B),就说明事件

A与B是相互独立的.

特别地,上述事件A,B相互独立,就是指条件概率转化为无条件概率,因而无条件概率

是条件概率的特殊情况；若事件A为不可能事件时,P(BA)就毫无意义. 2.条件概率的性质

根据条件概率的公式化定义,可以获得以下一些相关的性质[2]： 性质1.P(?A)?1；

性质2.P(?A)?0,(P(A)?0)； 性质3.P(BA)?0,(P(A)?0)；

性质4.若事件B1,B2,?,Bn,?两两相互排斥,则P(?BiA)??P(BiA)；

性质5.A和B是样本空间?中的任意事件,P(C)?0 ,P(B－AC)?P(BC)－P(ABC)； 性质6.P(AB)?1－P(AB), (P(B)?0)；

性质7.P(A?BC)?P(AC)?P(BC)－P(ABC),(P(C)?0).

到此,仅仅给出的条件概率公式化定义是严密的数学定义以及相关的性质,我们仅能通过定义对概率进行探讨,并没有给出具体的计算方法,那么接下来就从条件概率的重要公式讨论概率的计算问题.

i?1i?1??2.2 乘法公式

在初次学习条件概率时,都会避免不了出现这种错误：即将P(AB)与P(BA)弄混淆,为了更好的学习条件概率,需要分清两者之间的区别于联系.两者之间的区别：P(AB)是说在随机试验E中,事件A发生的同时,事件B无条件地在原始样本空间下发生的概率；而

P(BA)是指在E中,附加一个条件A已经发生情况下,在新的样本空间下,事件B也发生的

条件概率,因而事件“AB”与事件“BA”是两个不同的概念.两者之间的关系可以通过乘法公式帮助理解.

现在给出乘法公式如下：

定理1[3]：设A,B为两个事件,若P(A)?0,则有：

P(AB)?P(A)P(BA)-------------乘法公式(3)

若P(B)?0,则有：

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P(AB)?P(B)P(AB)-------------乘法公式(4)

将以上的乘法公式进行推广可得.

定理2[7]：假设有n个事件A1,A2,?,An满足P(A1A2?An－1)?0,则就可以得到公式：

P(A1A2?An)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?P(AnA1A2?An－1).

这就是乘法公式,它揭示了P(A),P(BA),P(AB)三者之间的关系,在解题时只要知道其中的两个就可以求出第三个,最主要在于分析实际问题中已知的是什么,要求的是什么.从另一个方面可以理解乘法公式就是利用条件概率P(AB)来计算P(AB)的.乘法公式是普遍成立的,只要作为“条件的事件”的概率不为零.

2.3 全概率公式

在解决现实生活中有关概率问题的时候,并不是所有的概率问题都可以用概率乘法公式,例如在遇到有关复杂事件的概率问题时,就要先把该复杂事件划分为很多个相互独立的,同时又相对比较简单的事件的总和.这时就可以先求出这些简单事件的概率,接着通过乘法公式与加法公式得到所求复杂事件的概率.而这种方法的一般化,就得到了下列公式,这个公式被称作全概率公式.

定义4[9]：设?为随机试验E的样本空间,B1,B2,?,Bn为?中的一组事件,如果满足下列条件：

(1)BiBj?? (i?j;i,j?1,2,?,n)； (2)?Bi??；

则称B1,B2,?,Bn为样本空间?的一个划分.

定理3[4]：设B1,B2,?,Bn为?的一个划分,并且P(Bi)?0(i?1,2,?,n),则对样本空间

?中的任意件A,有：

i?1n P(A)??P(Bi)P(ABi)--------------全概率公式(5)

i?1n注意：全概率公式中所提到的“全”,就是说要将B事件发生的每种情况“全”部要考虑到,也就是说B1,B2,?Bn是一个完备事件组.

2.4 贝叶斯公式

现实生活中,不但要会计算复杂事件的概率,还要会求解此类事件概率：若试验结果(事件A)是由于n种原因B1,B2,?,Bn中的某一种原因造成的,现在知道试验出现的结果A,分析它是由于原因Bi造成的概率P(BiA)(i?1,2,?,n),就需要用合适这类问题的计算公式,为此给出以下公式：

定理4[7]：设B1,B2,?,Bn为样本空间?的一个划分,并且P(Bi)?0(i?1,2,?,n),则对任意满足P(A)?0的事件A,有：

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P(BiA)?P(Bi)P(ABi)?P(B)P(AB)iii?1n (i?1,2,?,n)---贝叶斯公式(6)

注意：此公式左端的条件概率P(BiA)与公式右端的条件概率P(ABi),原因Bi与结果

A的位置正好对调.公式右端分母部分是n项和,其中每一项的形式与分子一致,而分子恰是分母中的一项．

3 条件概率基本公式计算方法

3.1 乘法公式计算方法

一般会遇到计算一个事件在另一个事件发生的前提条件下发生的概率,这时主要注意其中已知事件是哪个,而需要计算的事件是哪个,只要分清楚这两个问题,就可以根据乘法公式进行解题.而当遇到求某一个事件在另外几个事件发生的条件下发生的概率时,就需要分清楚那几个事件在不同情况下发生的概率,最后在通过乘法公式进行求解.

【例1】在一个密封的黑盒子中有14个大小形状相同的小方块,其中有6个红色的,8个绿色的,不放回的从黑盒子中取出3个小方块,则取出方块的顺序为红绿红的概率是多少？ 解析：由题意可知可以用乘法公式求解.

分析可得取出小方块跟先后的顺序有关,从而设事件Ai：第i次取到红色小方块,A：取出的三个小方块的顺序为红绿红.根据该题的规则可以选择如下的公式进行求解：

P(A)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A2A1)?68510??? 1413128110. 81【例2】某人忘记了银行卡密码的最后一位数字,因而他随意地输入数字.求出在银行卡冻

综上所述：顺序为白黑白的概率是

结之前（密码三次输入不正确将被冻结）输入正确密码的概率.若附加一个条件：已知最后一个数字是偶数,那此时的输入正确密码的概率是多少？

解：设Ak=“第k次输入正确密码”,k?1,2,3,B=“在银行卡冻结前输入正确密码”, 则事件B可以表示为B?A1?A1A2?A1A2A3, 根据题意可利用条件概率的相关公式得：

P(B)?P(A1)?P(A1A2)?P(A1A2A3)

?P(A1)?P(A1)P(A2A1)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)191981?????101091098 3?10?若知道最后一位数是偶数,则：

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P(B)?P(A1)?P(A1)P(A2A1)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)

141431?????554543 ?3

5?综上所述：在不知最后一位数的奇偶时,输入正确的概率为

3输入正确密码的概率为.

5小结：上述例题1解题方法与排列组合与案例中的乘法原理计算方法相同,但不能与之混

3,当知道最后一位数是偶数时,10淆解题思路.通过以上两个例题比较可知：对于乘法公式,只要确保每个事件发生的概率不要为零,分清楚每个事件发生相对应的前提条件,就可以熟练的应用这种计算方法解题.

3.2 全概率公式计算方法

在计算某个复杂事件发生概率时,可以把该复杂的事件划分成若干互不相容的简单事件的和事件,然后根据加法公式和乘法公式分别计算这些简单事件的概率总和(即执因寻果)[6].此时就得到复杂事件的概率,该概率公式就是全概率公式.

【例2】某厂家主要生产玻璃制品,其中的玻璃碗主要是成箱出售,每箱30只,如果某箱中有次品的个数是0,1,2时所对应的概率分别是70%,20%,10%.那么在顾客购买时,任意提取一箱,再从该箱中随机抽查5只,如果5个都不是次品,就买下该箱货物,否则不买,那么顾客买下这箱玻璃碗的概率是多少？

解：设B=“顾客买下该箱玻璃碗”.B事件的发生得情况比较复杂,但总的来说只有如下三种情况：

A0：所取的一箱中无次品, A1：所取的一箱中有一只次品, A2：所取的一箱中有两只次品, 据题意,A0,A1,A2构成一完备事件组,

P(A0)?0.7, P(A1)?0.2, P(A2)?0.1 ,

44C29C28P(BA0)?1, P(BA1)?5 ,P(BA2)?5,

C30C30

由全概公式得：

P(B)?P(A0)P(BA0)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)

412 ?0.7?1?0.2??0.1??0.92

519小结：从此题可知,全概率公式体现了一种典型的数学思维方法,就是“化整为零”,“化复杂为简单”,“化抽象为具体”,从而起到“化简为易”的作用[8].也就是前面所说的执因寻果.

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3.3 贝叶斯公式计算方法

概率论中除了可以使用全概率公式解决的概率问题外,还存在着另一种概率问题.就是指在知道试验结果的情况下,去找出其中某种原因发生的可能性(即执果索因)[5],也就是求众多原因都发生的情况下某一个原因发生的概率.这个时候就要用另一个计算公式：贝叶斯公式.

【例3】设根据以往记录的数据分析得到,某船只在运输某种物品时会有不同程度的损坏,当其损坏程度分别为2%,10%,90%时所对应的概率分别为0.8,0.15,0.05.现从该船运输的一大批物品中随机地独立地抽取3件,发现这3件都是好的,则依次求出这批产品损坏程度为2%,10%,90%的概率是多少？

解：设B1,B2,B3分别表示物品损坏2%,10%,90%的事件,A=“抽取3件都是好的”. 根据本题的实际意义,可以知道?包含B1,B2,B3,并且它们之间两两互不相容,因而这里只要要求P(B1A),P(B2A),P(B3A).

由题意知： P(B1)?0.8, P(B2)?0.15 , P(B3)?0.05,

P(AB1)?(1－2%)3； P(AB2)?(1－10%)3； P(AB3)?(1－90%)3． 由贝叶斯公式得： P(B1A)?P(AB1)P(B)P(AB1)?31?0.8731； P(A)?P(Bi)P(ABi)i?1 P(B2A)?P(AB2)P(B)P(AB2)?32?0.1268； P(A)?P(Bi)P(ABi)i?1 P(B3A)?P(AB3)P(B)P(AB3)?33?5.798?10-5． P(A)?P(Bi)P(ABi)i?1小结：从此题可知,贝叶斯公式就是适用在知道该船运送货物时所有损坏情况发生的概率前提下,求解此批货物运输时损坏的三种可能情况发生的概率分别是多少.也就是在知道复杂事件所有情况都会发生的前提下,求其中某种情况发生的概率,简而言之就是执果求因.

4 条件概率基本公式的应用技巧

对于条件概率的学习,我们不仅要知道如何计算事件的概率,也要了解几个公式之间的联系.只有熟知它们之间的联系才能更好的理解概率公式.另外,更要知道概率公式的一些应用技巧,只有掌握这些才能更好的解决概率问题.

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