小学奥数图形的面积(2)

ABGEDF4CABGEDF4C

【分析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD（见右上图），可以看

出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4?4?2?8．

［拓展］（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，

求三角形CDH的面积．

AFHGB

［分析］ 通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来

求．

直接找三角形HDC与三角形AFH的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD和四边形DEFG是正方形”这一条件．我

们不妨将它们都补上梯形DEFH这一块．寻找新得到大三角形CEF和大直角梯形DEFA之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．

【例 9】 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S?ADE?1，求?BEF 的面积．

EDCCEDABCEFDAB ［分析］ 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思

想.连接AC．

∵AB∥CD，∴S?ADE?S?ACE． 同理AD∥BC，∴S?ACF?S?ABF． BA又S?ACF?S?ACE?S?AEF，S?ABF?S?BEF?S?AEF，∴ S?ACE?S?BEF，即

S?BEF?S?ADE?1．

F

【例10】 （小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD是7?4的长方形，

10?2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差．

【分析】 直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到．如

性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个差容易求出，那么问题就解决了． 法1：连结BE（见右图）．三角形BCO与三角形EFO都加上三角形化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差． 所求为4?(10?7)?2?2?(10?7)?2?3．

法2：连结CF（见右图）．三角形BCO与三角形EFO都加上三角形化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差． 所求为4?(10?7)?2?2?(10?7)?2?3．

法3：延长BC交GF于H（见右图）．三角形BCO与三角形EFO都来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差． 所求为(4?2)?(10?7)?2?2?(10?7)?3．

法4：延长AB，FE交于H（见右图）．三角形BCO与三角形EFO原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之4?(?10?7?)(?．4 ???

【例11】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分

49．那么图中阴影部分的面积是多少？

DGADGADGADGCOBEFDEFG是

COBEFBEO果利用差不变图形的面积之，则原来的问题转

CBCOEFCFO，则原来的问题转

加上梯形COFH，则原

OEFADGBHCOHEF都加上梯形BHEO，则差．所求为

别是13，35，

A4935DEB13

【分析】 三角形ABC的面积?三角形CDE的面积?(13?35?49)?长方形面积?阴影部分面积；又因为三角形ABC的面积?三角形

CDEC的面积?12长方形面积，所以可得：

阴影部分面积?13?35?49?97．

1． 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB?24厘米，BC?8厘米，求三角形ZCY的面积．

DZAYCB

1212?12?DB【分析】 ∵Y是BD的中点，Z是DY的中点，∴ZY?又∵ABCD是长方形，∴S?ZCY?

14S?DCB?14?，S?ZCY?14S?DCB，

S?ABCD?24 (平方厘米)．

2． 如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是

多少？

ADB【分析】 连接BE.∵AE?又∵AD?

15ABAEC13ECDB ∴S?ABE?15S?ABE?1EC31S?ABC. S?ABC

∴S?ADE?15，∴S?ABC?15S?ADE?15.

3． 两个正方形组成右图所示的组合图形．已知组合图形的周长是52厘米，DG?4厘米，求阴影部分的面积．

ADGFE

【分析】 组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了．用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方

形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于(52?4)?3?16（厘米）．又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长?(16?4)?2?10（厘米），小正方形边长?(16?4)?2?6（厘米）．阴影部分面积

?S?BDG?S?BFG?4?10?2?6?6?2?38（平方厘米）．

BC

4． 在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角

形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积．

EAFGD

［分析］ 因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差

不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米，所以平行四边形ABCD的面积等于10?8?2?10?50平方厘米．

5． 右图中，CA?AB?4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米，求CD的长．

BC

DCEAB

【分析】 连结CB．三角形DCB的面积为4?4?2?2?6平方厘米，CD?6?2?4?3厘米．

直线型面积计算（2）

在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：

模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

DAS2BS1OS3C

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4 ②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

aADS1S2S4OS4S3BbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．

模型三：相似三角形性质：

2AEAFDDB①

ADAB?AEACFG?DEBC?ECAFAG

BGC

；

②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关

的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形

【例 9】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？

A2B1G3DC 【分析】 ⑴根据蝴蝶定理，S?BGC?1?2?3，那么S?BGC?6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3．

【例 10】 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的AB∥CD，对角线AC，BD交于O，已知?AOB与?BOC的

面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．

A25OD35B 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，S?AOB:S?BOC?a2:ab?25:35，可得a:b?5:，再根据梯形蝴蝶定理，

S?AOB:S?DOC?a:b?5:7?25:49，所以S?DOC?49(平方厘米)．那么梯形ABCD的面积为25?35?35?49?144(平方

2222C厘米)．

［铺垫］梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的

形AOD与三角形BOC的面积之比．

23，求三角

ADO

BC

［分析］ 根据梯形蝴蝶定理，S?AOB:S?BOC?ab:b2?2:3，可以求出a:b?2:3，

再根据梯形蝴蝶定理，S?AOD:S?BOC?a2:b2?22:32?4:9．

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，

所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．

【例 11】

四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

13，且

AO?2AOBDAHOCBDG

ABCD【分析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型 C

靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件S?ABD:S?BCD?1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3， ∴OC?2?3?6，

∴OC:OD?6:3?2:1．

解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G． ∵S?ABD?∴AH?1313S?BCD，

CG13， ，

∴S?AOD?1S?DOC∴AO?CO，

3∴OC?2?3?6，

∴OC:OD?6:3?2:1．

【例 12】

在边长为1的正方形ABCD中，BE?2EC，DF?2FC．求四边形ABGD的面积．

ABABGDFECDGFEC 【分析】 题目要求四边形ABGD的面积，可以发现这个四边形是个“不良四边形”，需要对它进行改造．通常在一个四边形中画辅

助线，会想到画对角线，又注意到E、F都是三等分点，如果连接EF，因为EF∥BD，则可以构造一个梯形，从而应用梯形蝴蝶定理快速求解．

因为BE?2EC，DF?2FC，所以BD:EF?3:1．

根据梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形BDFE四部分面积比为1:3:3:9； 而等腰梯形BDFE的面积为：?1?1?2112?13?13?49，

所以S?BDG?SBDFE?91?3?3?912?14，

14?34得SABGD?S?ADB?S?BDG?

【例 13】

?1?1?．

如图，正方形ABCD面积为1，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．

BCGADM

12【分析】 因为M是AD边上的中点，所以AM?2，可得S梯形AMCB?234，

由于AM:BC?1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道

S?AMG:S?ABG:S?MCG:S?BCG?1（:1?2）（:1?2）:2?1:2:2:4，

2?24344913所以阴影部分面积占梯形面积的

【例 14】

如图，在长方形

1?2?2?49ABCD中，AB?6，AD?2?，所以S阴影???．

，AE?EF?FB，求阴影部分的面积．

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