小学奥数图形的面积

直线型面积计算（1）

图形abaahchadhADabaCBb周长公式周长=2(a+b)周长=4a周长=a+b+cbc周长=2(a+b)面积公式面积=ab面积=a21面积=ah2面积=ah名称长方形正方形三角形平行四边形梯形菱形1周长=a+b+c+d面积=(a+b)h2周长=4a1面积=AC?BD2

对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

③夹在一组平行线之间的等积变形，如S?ACD?S?BCD； 反之，如果S?ACD?S?BCD，则可知直线AB平行于CD．

ABCD

【例 1】 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，

求阴影部分的面积．

AEBHDGAEBHDG

【分析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．

连接BH、CH． ∵AE?EB， ∴S?AEH?S?BEH．

同理，S?BFH?S?CFH，S?CGH=S?DGH， ∴S阴影?12S长方形ABCD?12?56?28FCFC（平方厘米）．

［铺垫］你有多少种方法将任意一个三角形分成：

⑴2个面积相等的三角形； ⑵3个面积相等的三角形； ⑶4个面积相等的三角形．

［分析］ ⑴如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；

AEAAFCB

分别是对应线段的中点；答案不唯一；

BDCB是BCC⑵如右图，D、E 的三等分点，F、G

AAFAGBDECBDCBDC

⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考．

【例 2】 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE?3AB，BD?2BC，三角形BDE的面积是多少？

(1)(2)(3)(4)(5)ABCDEABCDE

【分析】 连接CE．

∵AE?3AB，∴BE?2AB，S?BCE?2S?ACB．

又∵BD?2BC，∴S?BDE?2S?BCE?4S?ABC?4．

【例 3】 如图，三角形ABC中，DC?2BD，CE?3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？

AEB 【分析】 ∵CE?3AE，∴AC?4AE,S?ADC?4S?ADE;

又∵DC?2BD,∴BC?32DCDC,S?ABC?32S?ADC?6S?ADE?120（平方厘米）．

［铺垫］如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？

AAEB甲乙DCEBDC

［分析］ 连接AD．

∵BE?3,AE?6，

∴BE?13又∵BD?DC?4,

AB,S?BDE?13S?ABD．

∴S?ABD?∴S?BDE?∴S甲?151213S?ABC,

16S?ABCS?ABD?,

S乙．

［拓展］如图，在三角形ABC中，BC?8厘米，AD?6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平

方厘米？

AFEB［分析］ ∵F是AC的中点,

∴S?ABF?12S?ABC12AFECDBC

， ，

14?12?8?6?6同理S?BEF?∴S?BEF?14S?ABFS?ABC?（平方厘米）．

【例 4】 如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD?AB；延长BC至E，使CE?2BC；延长CA至F，使AF?3AC，

求三角形DEF的面积．

FFABDCEBDACE

【分析】 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）．

连接AE、CD．

∵

S?ABCS?DBC1?，S?ABC?1， 1∴S?DBC?1．

同理可得其它，最后三角形DEF的面积?18．

［拓展］如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，HD?DA，求四边形ABCD的面积．

HDAECBGHDCBGFAEF

［分析］ 连接BD.设S?DCB?S1，S?DAB?S2

∵CB?BF，

CB 又∵DC?CG,

∴S?CDF?CB?BFS?CDB?2S?CDB,

∴S?CFG?S?CDF?2S1，

同理S?AEH?2S2，

∴S?CFG?S?AEH?2SABCD

连接AC，同理S?HDG?S?BEF?2SABCD

∴SEFGH?S?CFG?S?AEH?S?HDG?S?BEF?SABCD?5SABCD， SABCD?15SEFGH?1315（平方米）．

［拓展］如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？

AFCAFCD BEDBE

［分析］ 连接对角线AE． ∵ADEF是长方形 ∴S?ADE?S?AEF?∴∴

DBDE?S?ADBS?ADE?3812S?ADEFFCEF

?S?ACFS?AEF?12，

?5

?12BEDE?DE?DB∴S?BECDE8EF1515????16? 2822，

CE?FE?CFEF

∴S?ABC?S?ADEF?S?ADB?S?ACF?S?CBE?132．

［拓展］如图，长方形ABCD中，BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．

AGDFCAGDFC

311110S长方形ABCDBEBE［分析］ 连接AE，FE．

因为BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，所以S?DEF?(??)S长方形ABCD?532．

16S长方形ABCD因为S?AED?以长方形

12ABCDS长方形ABCD，AG:GF?1210:1?5:1，所以S?AGD?5S?GDF?10，所以S?AFD?12．因为S?AFD?，所

的面积是72平方厘米．

【例 5】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF?FC，并且甲、

乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．

A乙DF甲BE丙C12

【分析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF?FC．所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即AE与CD平行，四边形

ADCE是平行四边形，阴影部分的面积?平行四边形ADCE的面积的

25?12.8，所以阴影部分的面积?乙的面积?2．从而阴影

部分的面积?32?（平方厘米）．

［拓展］如图，在平行四边形ABCD中，BE?EC，CF?2FD．求阴影面积与空白面积的比．

AHFGBECD

14S四边形ABCD［分析］ 因为BE?EC，CF?2FD，所以S?ABE?因为AD?2BE，所以AG?2GE， 所以S?BGE?13S?ABE?18112，S?ADF?1616S四边形ABCD．

S四边形ABCD，S?ABG?23S?ABE?S四边形ABCD．

同理可得，S?ADH?因为S?BCD?13S四边形ABCDS四边形ABCD，S?DHF?124S四边形ABCD．

12?112?124?16?18)S四边形ABCD?23S四边形ABCD12S四边形ABCD，所以空白部分的面积?(，所以阴影部分的面积是

．

12:?1:2，所以阴影面积与空白面积的比是1:233．

【例 6】 如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

FABGDECDEAFBGC 【分析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

的一半．

证明：连接BE．（我们通过?ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．）

∵在平行四边形ABCD中，S?ABE?∴S?ABG?12S?ABCD1212?AB?AB边上的高，

（也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）．

，∴平行四边形ABCD与AEGF面积相等．

同理，S?ABE?S?AEGF

［拓展］如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

EAFDGCBFDAEB

［分析］ 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面

积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG.（我们通过?ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）．

∵在正方形ABCD中，S?ABG?∴S?ABG?12S?ABCD1212?AB?ABGC边上的高，

（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）

同理，S?ABG?SEFGB．

∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等. 长方形的宽?8?8?10?6.4（厘米）．

【例 7】 如图，正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，求图中三角形BFD的面积为多少平方厘米？

ADGHFADGHFBCEBCE【分析】 连接CF．

∵BD，CF都是正方形的对角线

∴?DBC??FCE?45?，BD∥CF．

∴?BFD与?BCD同底等高，S?BFD?S?BCD?12

?10?10?50(平方厘米) ．

【例 8】 （03年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．

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