大学物理化学核心教程第二版（沈文霞）课后参考答案第9章(3)

降了多少？已知293 K时，汞的表面张力??0.4865 N?m?1，与管壁的接触角为150°，汞的密度??1.35?104 kg?m?3。

解：当汞在毛细管中，曲面的曲率半径R'与毛细管半径r之间的关系为R'cos??r。当接触角大于90°时，凸面上的总压力比平面上大，根据公式（9.12），附加压力为

ps?2?cos?r?(?内??外)gh???Hggh

h??2?cos??Hggr

??2?0.4865 N?m1.35?10 kg?m4?3?1?cos150?2o?3?9.8m?s?0.5?10m

?0.013 m汞在毛细管中下降了0.013 m。

5．在室温时，将半径为1?10?4m的毛细管插入水—苯两层液体的中间，毛细管的上端没有露出苯的液面。这时水在毛细管内呈弯月面，水柱在管中上升的高度为4?10?2m，玻璃-水-苯之间的接触角是 40°(cos? = 0.76)，已知水和苯的密度分别约为1.0?103 kg?m?3和0.8?103 kg?m?3。试计算水与苯之间的界面张力的数值。

解： 由于水能润湿毛细管，水在毛细管内呈弯月面，附加压力使水在毛细管内上升。高出水平面的部分，毛细管内是水，毛细管外是苯，这时达到平衡时的力平衡关系式为：

2?苯?水co?sr?(?内??外)gh

?苯?水?(?水??苯)ghr2cos?3

?3?2?2?4?(1.0?0.8)?10kg?m?9.8m?s2?0.76?4?10m?1?10m

?5.16?10 N?m

?3?16．试计算在293 K时，在半径为R?1.0 nm的小水滴上水的饱和蒸气压。已知水在293 K时的表面张力??0.07288 ?Nm，密度??0.998?10 kg?m

?13?3'，摩尔质量

?1M(H2O,l)?0.018 kg?mol。在273 K时，水的饱和蒸气压为 610.5 Pa，在 273 – 293 K

的温度区间内，水的摩尔气化焓 ?vapHm(H2O)?40.67 kJ?mol，并设摩尔气化焓与温度无关。

解： 首先要运用Clausius-Clapeyron 方程，计算293 K 时，在平面水上的饱和蒸气压，

?vapHm?11?ln???? p(T1)RTT?12?p(T2)lnp(293K)610.5Pa?40 670?11????

8.314?273293??1解得 p(293 K?) 42 07然后利用Kelvin 公式计算293 K 时，半径为 1.0 nm时的水滴面上的饱和蒸气压 lnpr2074Paprp0?2?MRT?R?'

ln解得

?2?0.07288?0.0188.314?293?1?10?9?0.998?103

pr?6101 Pa

7．如果某肥皂水的表面张力为0.050 N?m?1，试计算下列肥皂泡上所受到的附加压力？

(1) 肥皂泡的直径为 2 mm。 (2) 肥皂泡的直径为 2 cm。

解： 肥皂泡有内外两个表面，外面是凸面，里边是凹面，附加压力的方向都指向曲面的圆心。忽略肥皂泡壁的厚度，故肥皂泡所受到的附加压力是相同半径液面的两倍，

(1) ps?2?2?R'?2?2?0.050 N?m1?10m2?0.050 N?m1?10m?2?3?1?200 N?m?2?200 Pa

(2) ps?2?2?R'?1?2??20 N?m?2?20 Pa

可见，肥皂泡的曲率半径越小，附加压力就越大。

8． 已知在298 K时，水在平面上的饱和蒸气压为3167 Pa。请计算在相同温度下，半

径为2 nm 的水滴表面的饱和蒸气压？已知水的摩尔质量M(H2O,l)?0.018 kg?mol?1，密度??0.997?103 kg?m?3，水的表面张力??0.07214 N?m?1。

解： 利用Kelvin公式，计算298 K时，半径为2 nm的水滴面上的饱和蒸气压 lnpr3167Paprp0?2?MRT?R?'

ln?2?0.07214?0.0188.314?298?2?10?9?0.997?103?0.5257

解得 pr?5 357 Pa在计算中，所有的物理量要严格使用SI单位，这样单位就自然能相互消去。从计算结果可知，小水滴表面上的饱和蒸气压要比平面上的蒸气压大得多，水滴的半径越小，其饱和蒸气压将越大。

9．在298 K时，设在水中有一个半径为0.9 nm的蒸汽泡，试计算泡内的蒸气压。已知，

?3在298 K时，水的饱和蒸气压为3167 Pa，密度??997 kg?m，水的摩尔质量

M(H2O,l)?0.018 kg?mol，水的表面张力??0.07214 N?m?1?1。

解：利用Kelvin 公式，计算298 K 时，半径为0.9 nm的蒸气泡内的蒸气压。因为蒸气泡内壁是凹面，所以Kelvin 公式为（相当于将曲率半径取负值） lnprp0??2?MRT?R?'

ln??3167Papr2?0.072?148.?314?298?0.018??1.16 82?9(0.?910)997 pr?984.7 Pa从计算可知，小蒸气泡内的蒸气压，远小于平面水面上的饱和蒸气压。事实上，在298 K时，这样小的蒸气泡是无法形成的，这只是做一个计算练习而已。

10．将一根洁净的毛细管插在某液体中，液体在毛细管内上升了0.015 m。如果把这根毛细管插入表面张力为原液体的一半、密度也为原液体的一半的另一液体中，试计算液面在这样的毛细管内将上升的高度? 设上述所用的两种液体能完全润湿该毛细管，接触角??近似为零。

解：接触角??近似为零，曲率半径就等于毛细管半径，则两者的曲率半径相同。根据附

加压力的计算公式和液体在毛细管中上升高度的关系式，有 h1?2?1 h2?2?2?1gR'?2gR'

将两式相比，消去相同的项，因为?1?2?2，?1?2?2，所以有

h1h2???12??12?2?222???2?1 2 h2?h1?0.015 m

两种液体的液面在毛细管内上升的高度是相同的。这道题只是提供了一种解题思路，如果两者的表面张力与密度的关系不是如此，则在毛细管内液面上升的高度一般就不会相同。

11．一个用透气多孔耐火砖制成的盛钢液的容器，如果要在该容器中所盛钢液的高度为2 m，则在容器底部的毛细孔半径应控制为多少，才能使钢液不渗漏? 已知钢液的表面张力??1.3 N?m?1，钢液的密度??7 000 kg?m?3，钢液与耐火材料之间的接触角为150°。

解：钢液与耐火材料之间的接触角大于90°，说明钢液不能润湿耐火砖，钢液在毛细孔内呈凸面。当在多孔砖的毛细孔内，钢液的附加压力大于钢液的静压力时，钢液就不会渗漏。设多孔砖的毛细孔半径为r，则钢液的凸面所产生的附加压力ps??的静压力为?gh，

?2?cos?r>?gh

2?cos?r，钢液

r<-2?cos??gh

??2?1.3 N?m7 000kg?m?5?1?cos150?2o?3?9.8m?s?2m

r<1.64?10m

所以多孔砖的毛细孔半径应该小于1.64?10m，钢液才不会漏出。

?312． 已知在300 K时纯水的饱和蒸气压ps?3.529 kPa，密度??997 kg?m，表

?5面张力??0.0718 N?m?1。在该温度下，

?4（1）将半径r1?5.0?10 m的洁净玻璃毛细管插入纯水中，管内液面上升的高度为

h?2.8 cm，试计算水与玻璃之间的接触角。

（2）若玻璃毛细管的半径为r2?2.0 nm时，求水蒸气在该毛细管中发生凝聚的最低蒸气压。

解： （1）根据Laplace公式，附加压力为 ps?2?cos?r???gh

设????l?997 kg?m?3，所以 cos???lghr2?

?997 kg?m?3?9.8m?s?2?2.8?10?2?1 m?5.0?10?4 m2?0.0718 N?m

?0.9526

解得接触角

??17.7°

（2）凹面的曲率半径R'为

' R?rcos??2.0?10mcos17.7°?9?2.1?10m

?9根据Kelvin 公式，计算凹面上的饱和蒸气压 lnprps??2?MRT?R'

lnprps??2?0.0718 N?m8.314J?K?1?1?0.018kg?mol?3?1?9?mol?1?300K?997 kg?m?2.1?10m

解得比压

prps?0.610

pr?0.610ps?0.610?3.529 kPa?2.153 kPa

水蒸气在该毛细管中发生凝聚的最低蒸气压为2.153 kPa，超过这个压力，水蒸气在该毛细管中就会发生凝聚。所以在吸附实验中为了防止发生毛细管凝聚现象，一般控制的比压

p/ps<0.3。

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