2008年江苏省高考数学试卷(5)

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www.jyeoo.com 分析： 先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求． 解答： 解：因椭圆的参数方程为（?为参数） 故可设动点P的坐标为因此所以，当时，S取最大值2． ，其中0≤?＜2π． 点评： 本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 24．（2008?江苏）设a，b，c为正实数，求证： 考点： 平均值不等式；不等式的证明． 专题： 证明题． 分析： 先根据平均值不等式证明 ．

，再证 ． 解答： 证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得 ， 即 所以，而 所以，点评： ， ， ， 大于或等于它们的几何平均数 本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数． 25．（2008?江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记为钝角时，求λ的取值范围． 考用空间向量求直线间的夹角、距离． 点： 专计算题；压轴题． 题： ．当∠APC

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www.jyeoo.com 分APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于析由题意易知∠： ，再将用关于λ的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可 ，即解解：由题设可知，以、、为单位正交基底， 答： 建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz， 则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1） 由，得，所以 显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于，则等价于 即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得因此，λ的取值范围是 2 点本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题． 评： 26．（2008?江苏）请先阅读：

在等式cos2x=2cosx﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cosx﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）?2=4cosx?（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx?sinx． （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）=Cn+Cnx+Cnx+…+Cnx（x∈R，正整数n≥2），证明：

．

（2）对于正整数n≥3，求证： （i）

；

n

0

1

22

nn

2

2

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（ii）

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（iii） ．

考点： 微积分基本定理；二项式定理；类比推理． 专题： 证明题；综合题；压轴题． 分析： （1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式． （2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式． （ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简即得证． （iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式． n0122nnn﹣112解答： 证明：（1）在等式（1+x）=Cn+Cnx+Cnx+…+Cnx两边对x求导得n（1+x）=Cn+2Cnx+…+（n﹣1）Cnn﹣1n﹣2x+nCnxnn﹣1 （*） 移项得（2）（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得 所以 n﹣112n﹣1n﹣2nn﹣1（ii）由（1）知n（1+x）=Cn+2Cnx+…+（n﹣1）Cnx+nCnx，n≥3 n﹣223nn﹣2两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）=2Cn+3?2Cnx+…+n（n﹣1）Cnx 232n﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn+3?2Cn（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn（﹣1） 即， 亦即（1） 又由（i）知（2） 由（1）+（2）得n0122 nn（iii）将等式（1+x）=Cn+Cnx+Cnx+…+Cnx两边在[0，1]上对x积分 由微积分基本定理，得 所以 ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 点评： 本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理． ?2010-2014 菁优网

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参与本试卷答题和审题的老师有：wdnah；qicai；zhwsd；yhx01248；sllwyn；wzj123；minqi5；翔宇老师；jj2008；733008；wodeqing；gongjy；涨停；Linaliu；caoqz；wsj1012（排名不分先后） 菁优网

2014年5月20日

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