2008年江苏省高考数学试卷(3)

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www.jyeoo.com 故答案为：． 点评： 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 10．（5分）（2008?江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 ．

考点： 归纳推理；等比数列的前n项和． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据． 解答： 解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式． 前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个， 即个， 因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个， 即为． 点评： 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 11．（5分）（2008?江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则 考点： 基本不等式． 分析： 的最小值是 3 ．

由x﹣2y+3z=0可推出解答： 解：∵x﹣2y+3z=0， ∴， ，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可． ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com ∴=，当且仅当x=3z时取“=”． 故答案为3． 点评： 本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容． 12．（5分）（2008?江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆

的焦距为2c，以O为圆心，a

为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 抓住△OAP是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题迎刃而解． 解答： 解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形， 故解得故答案为， ， ． 点评： 本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力． 13．（5分）（2008?江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是 2 ． 考点： 三角形中的几何计算． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值． 解答： 解：设BC=x，则AC=x， 根据面积公式得S△ABC=AB?BCsinB ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com =×2x， 根据余弦定理得cosB= =代入上式得 S△ABC=x=， =， 由三角形三边关系有， 解得2﹣2＜x＜2+2． 故当x=2时，S△ABC取得最大值2． 点评： 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题． 14．（5分）（2008?江苏）f（x）=ax﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a= 4 ． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜3

0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥=，可构造函数g（x），然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值． 解答： 解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立； 当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax﹣3x+1≥0可化为：a≥3 设g（x）=，则g′（x）=， 所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减， 因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4； 当x＜0即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax﹣3x+1≥0可化为：a≤g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增， 3， 因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4． 答案为：4 点评： 本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注

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www.jyeoo.com 意该问题的解答． 二、解答题（共12小题，满分90分） 15．（15分）（2008?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是（1）求tan（α+β）的值； （2）求α+2β的值．

，

．

考点： 两角和与差的正切函数． 分析： （1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ； 解之． 最后利用tan（α+β）=（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值． 解答： 解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知因为α为锐角，则sinα＞0，从而同理可得因此． ， ， 所以tan（α+β）=； （2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=， 又所以由tan（α+2β）=﹣1得，故． ， 点评： 本题主要考查正切的和角公式与转化思想． 16．（15分）（2008?江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证： （1）直线EF∥面ACD； （2）平面EFC⊥面BCD．

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考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 专题： 证明题． 分析： （1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF?面ACD，AD?面ACD，满足定理条件； （2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD?面BCD，满足定理所需条件． 解答： 证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点． ∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD， ∵EF?面ACD，AD?面ACD，∴直线EF∥面ACD； （2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD， ∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC， ∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD 点评： 本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力． 17．（15分）（2008?江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm． （1）按下列要求建立函数关系式： （Ⅰ）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数； （Ⅱ）设OP=x（km），将y表示成x的函数；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．

考点： 在实际问题中建立三角函数模型． 分析： （1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式． （2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合． 解答： 解：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad）， 则，故，又OP=10﹣10tanθ， ?2010-2014 菁优网

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