6-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷q1?1.8?10?9C，B点上有电荷q2??4.8?10?9C，试求C点的电场强度(设BC?0.04m，AC?0.03m)。 解：q1在C点产生的场强：E1?q14??0r2ACi，
q2在C点产生的场强：E2?q2j， 24??0rBCj∴C点的电场强度：E?E1?E2?2.7?104i?1.8?104j；
?iC点的合场强：E?E?E?3.24?10V21224m，
方向如图：??arctan
1.8?33.7?3342'。 2.7?96-2．用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为3.12?10C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。 解：∵棒长为l?2?r?d?3.12m，
∴电荷线密度：??OR??2cmxql?1.0?10?9C?m?1
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d?0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法1：利用微元积分：
dEOx??14??0??Rd?R2cos?，
∴EO????cos?d?????d?2sin???2???0.72V?m?1； 24??0R4??0R4??0R解法2：直接利用点电荷场强公式：
?11由于d??r，该小段可看成点电荷：q???d?2.0?10C，
2.0?10?11则圆心处场强：EO??9.0?10??0.72V?m?1。 224??0R(0.5)q?9方向由圆心指向缝隙处。
6-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，
电荷线密度为
?，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。
1
解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A?在O点的场强：
???E?(cos?cos?)?Ax4??R2?0有：?
?E??(sin??sin?)Ay?4??0R2?②对于半无限长导线B?在O点的场强：
xEy???E?(sin??sin)?Bx4??R2?0有：?
?E??(cos??cos?)By?4??0R2?③对于AB圆弧在O点的场强：有：
?????2E?cos?d??(sin?sin?)?ABx?04??R4??R2?00 ???E?2?sin?d????(cos??cos?)?ABy?04??R4??0R20?∴总场强：EOx????，EOy?，得：EO?(i?j)。
4??0R4??0R4??0R22EOx?EOy?或写成场强：E?
2?，方向45。
4??0R6-4．一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为?，求环心处O点的场强E。 解：电荷元dq产生的场为：dE?dq； 24??0R?Ydq?d?Ro?dEX根据对称性有：dEy?0，则：
?E??dEx??dEsin????0?Rsin?d???，
4??0R22??0R方向沿x轴正向。即：E?
?i。
2??0R6-5．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心O处的电场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dl?Rd?，所带电荷：dq?2?r?dl。
2
利用例11-3结论，有：dE?xdq4??0(x2?r)322???2?rxdl4??0(x2?r)322
∴dE???2?Rcos??Rsin??Rd?4??0[(Rsin?)?(Rcos?)]2232，
r?Ox?化简计算得：E?2?0
??20?1?i。 sin2?d??，∴E?4?024?06-6．图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?。场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E?x图线(设原点在带平面上，Ox轴垂直于平板)。
解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯当x?求板内、外的电平板的中央
面，
d时，由?E?dS?2E??S和?q?2x??S，
S12有：E??x； ?0??d2?0E当x?d时，由?E?dS?2E??S和?q?2d??S，
S22d2O?d2x有：E??d。图像见右。 2?0?d2?06-7．在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)， 平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量.
解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有r?球冠面一条微元同心圆带面积为：dS?2?rsin??rd? ∴球冠面的面积：S?d2?R2， rd??rsin?Odr??02?rsin??rd??2?rcos?20cos??
xd?2?r2(1?)】
r∵球面面积为：S球面?4?r，通过闭合球面的电通量为：?闭合球面?2q?0，
3
由：
?球冠?球面?S球面S球冠，∴?球冠?1dqqd(1?)??(1?)。
222r?02?0R?d6-8．半径为R1和R2（R1?R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量?和??，试求：（1）（2）R1?r?R2；（3）r?R2处各点的场强。 r?R1；
解：利用高斯定律：
??SE?dS?1?0?q。
iS内（1）r?R1时，高斯面内不包括电荷，所以：E1?0；
?l?，则：E2?； ?02??0r（3）r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE3?0，则：E3?0；
（2）R1?r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE2??E?0????即：E??E?r2??0r??E?0?r?R1R1?r?R2。 r?R2
6-9．电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心r处（r?R）P点的电势。 解：利用高斯定律：
??2SE?dS?1?0S内?q可求电场的分布。
orPRP?QrQr3（1）r?R时，4?rE内?； ?3；有：E内?34??0R?0RQQ2（2）r?R时，4?rE外?；有：E外?；
?04??0r2离球心r处（r?R）的电势：Ur??RrE内?dr??E外?dr，即：
R?Ur??Rr?QrQ3QQr2。 ?dr???dr??323R4??0R4??0r8??0R8??0R
6-10．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为?，球壳内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。
解：当r?R1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1?0， 当R1?r?R2时，有：E2???(r3?R13)4??0r243?(r3?R13)?，
3?0r2当r?R2时，有：E3?3??(R2?R13)434??0r2R2R13?(R2?R13)?， 23?0r以无穷远处为电势零点，有：
U??E2?dr??E3?dr??R1R2R2?33??(R?R)?(r3?R13)?221?(R2?R12)。 dr?dr22?R2?03?0r3?0r2 4
6-11．电荷以相同的面密度??分布在半径为r1?10cm和r2?20cm的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为U0?300V。
（1）求电荷面密度?；
（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度??为多少？
（?0?8.85?10?12C2?N?1m?2）
解：（1）当r?r1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1?0，
r1?r12O当r1?r?r2时，利用高斯定理可求得：E2?， 2?0rr2?(r12?r22)当r?r2时，可求得：E3?，
?0r2222r?r1??(r1?r2)r2??dr?dr∴U0??E2?dr??E3?dr???(r1?r2) 2?r?r2rr1r2?0r?002128.85?10?12?300那么：????8.85?10?9Cm2 ?3r1?r230?10（2）设外球面上放电后电荷密度?'，则有：
?r1?，∴U0'?(?r1??'r2)/?0?0?'???? r22?0U0则应放掉电荷为：
6-12．如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线左端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为：E?势为零）。
322?4?3.14?8.85?10?12?300?0.2?6.67?10?9C。 ?q?4?r2(???')???4?r22q4??0r2（r?R）。
取细线上的微元：dq??dl??dr，有：dF?Edq， ∴F??r0?lr0??qlr?为r方向上的单位矢量） （r?dr?24??0x4??0r0(r0?l)qq4??0r（r?R，?为电势零点）。
（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：U?对细线上的微元dq??dr，所具有的电势能为：dW?∴W?q4??0r??dr，
q4??0?r0?l?drrr0?q?4??0lnr0?l。 r0
6-13．如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为?(＞0)今有一质量为m，电荷为?q的粒子(q＞0)沿圆板轴线(x轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O（也是x轴原点）为b的位置上时，粒子的速度为v0，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。 解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上x0处产生的电势为：
5
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